叶振威 于贤磊

（1.扬州大学水利与能源动力工程学院，江苏 扬州 225009；2.南水北调东线江苏水源有限责任公司徐州分公司,江苏 徐州 221000）

现行的渠道横断面设计是用明渠均匀流公式，以试算法或图解法进行计算，这些方法复杂、计算量大、精度低。粒子群算法与遗传算法相类似，也是基于群体的优化算法，不要求函数连续或者显式表达，具有很强的全局搜索能力，但它比遗传算法简单，易于使用，而且收敛速度也更快[1]。本文将粒子群算法与罚函数法相结合，解决非线性约束问题，并对渠道横断面设计进行优化计算。

1.粒子群算法设计

假设在一个D维搜索空间里有n个粒子组成的种群X=(X1,X2,…,Xn)，第i个粒子的位置为X=(Xi1,Xi2,…,XiD)；第i个粒子所经历的最好的位置记为Pi=(Pi1,Pi2,…,PiD)，称个体极值；群体中所有粒子经历过的最好的位置记为Pg=(Pg1,Pg2,…,PgD)，称群体极值[2]。PSO算法步骤如下：

步骤一：确定迭代次数k、种群规模X、搜索空间的维数D，在搜索空间中产生粒子的初始速度V和初始位置x。

步骤二：计算粒子适应度。

步骤三：将每个粒子当前适应度值与自身个体极值和群体极值进行比较，如果当前适应度值优于个体极值，则更新个体极值；如果当前适应度值又优于群体极值，则更新群体极值。

步骤四：更新粒子速度和位置，公式[3]如下：

式中：ω为惯性权重，ω取1；i=1,2,…,D；j=1,2,…,n；k为当前迭代次数；c1、c2为加速因子，取1；φ1、φ2为区间[0 1]之间的随机数。

步骤五：迭代次数k=k+1，若满足迭代次数或精度要求，则停止搜索，输出结果，否则返回步骤二。

2.渠道横断面优化设计

2.1 目标函数及约束条件

渠道梯形断面优化设计是根据明渠均匀流公式进行水力计算。明渠均匀流公式为：

由此可推得明渠均匀流公式为：

由此可得渠道横断面优化模型[4]为：

2.2 罚函数法及处理

目前，使用最广泛的处理约束条件的方法是惩罚函数法，设法将约束问题转化为无约束的问题求解。具体做法是，根据约束的特点，构造某种惩罚函数，然后，把它加到目标函数中去,将约束优化问题的求解转化为无约束问题的求解。这种惩罚策略在无约束问题求解过程中，那些企图违反约束的迭代点给予很大的目标函数值(对于极小化而言是一种惩罚)，迫使一系列无约束问题的极小点或者无限地靠近可行域，或者一直保持在可行域内移动，直至迭代点列收敛到原约束问题的极小点。罚函数处理的适应度函数公式[5]如下：

式中： F（ x）为原适应度函数；G（ x）为罚函数；D为x满足约束条件的集合。

2.3 算例分析

例[6]：某灌区渠道采用梯形断面，设计流量3.2m3/s，边坡系数m=1.5，渠比降i=0.0005，渠床糙率系数n=0.025，渠道不冲流速该渠道为清水渠道，无防淤要求，为了防止长草，最小允许流速为0.4m/s。求该渠道过水断面尺寸。

文献[6]将免疫遗传算法引入梯形渠道断面优化设计，免疫遗传算法具有较高的全局搜索能力，但其算法复杂，需要不断编码解码，运行时间长。本文采用的粒子群算法，算法结构简单，运行速度快，在非线性约束问题中要优于免疫遗传算法。应用粒子群算法求解，迭代次数为1000，种群规模为20，变量b取离散值[1.0 1.5 2.0 2.5 3.0]，变量h取区间[0.0 5.0]。

粒子群算法求得最优解与文献[6]所求最优解对比见表1。粒子群算法所得结果与文献[6]中免疫遗传算法所得解相近，精度高，完全满足实际工程设计要求。粒子群算法程序在多次运行中，平均耗时0.6s，优于免疫遗传算法。

表1 梯形渠道断面优化设计表

3.结论

本文基于MATLAB平台，应用粒子群算法与罚函数法相结合对渠道断面进行优化设计，并与免疫遗传算法计算结果比较，证明了粒子群算法在求解该问题上具有全局性好、收敛速度快、精度高等特点。粒子群算法具有较好的非线性极值寻优能力，为解决非线性约束问题提供了新思路。