张 茜

一些较难的证明题往往需要添加辅助线才能证明，下面为同学们梳理五种常见辅助线的作法.

一、补全图形

【例1】如图1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE垂直于BD，交BD的延长线于点E.求证：BD=2CE.

图2

【分析】要证明BD=2CE，就要找到与2CE相等的线段.这里BD⊥CE，且BD平分∠ABC，所以想到了补全图形，构造全等.

证明：如图2，延长CE、BA交于点F，

易证Rt△BEC≌Rt△BEF（ASA），

∴CE=EF，∴CF=CE+EF=2CE.

∵∠ABD=∠FCA（同角的余角相等），

易证Rt△CAF≌Rt△BAD（ASA）.

∴BD=CF.

又∵CF=2CE，∴BD=2CE.

【说明】补全图形，构造出2CE，再利用三角形全等，证得结论.

二、倍长中线法构造全等

三角形问题中涉及中线（中点）时，将三角形中线延长一倍来构造全等三角形是比较常用的解题思路.

【例2】如图3，在△ABC中，∠A=90°，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF.试探索线段BE、CF及EF之间的等量关系，并加以证明.

图3

图4

【分析】此题中需要倍长FD，连接BG，达到了将△DFC绕点D旋转180°的效果.再加上DE⊥DF，三线合一，故连接EG形成等腰△EGF.再证出△FDC≌△GDB后，将边CF及∠C转移到△EBG中，且易证∠EBG=90°，则可得证.

证明：如图4，延长FD至点G，使得FD=DG，连接BG，EG.易证△FDC≌△GDB.

∵DE⊥DF，DF=DG，∴EG=EF.

易证∠EBG=90°，

∴BE2+BG2=EG2，即 BE2+CF2=EF2.

【说明】倍长中线法的解题思路，就是见到中点，将与中点连接的线段倍长，目的是通过几何变换将分散的条件集中起来，所以说见到图形某边上的中点是我们利用倍长中线法的一个重要信号.

三、利用角平分线构造全等

角平分线所在的直线是角的对称轴，在证明全等过程中不仅提供了两个相等的角，还有一条公共边.利用角平分线在角的两边截取相等的线段，或向两边作垂线，进而构造出全等三角形是常用的证明方法.

【例3】已知，如图5，AC平分∠BAD，CD=CB，AB＞AD.求证：∠B+∠ADC=180°.

图5

图6

【分析】因为AC是∠BAD的平分线，所以……