张海霞，孙泽镇

(温州大学数理与电子信息工程学院，浙江温州 325035)

近年来，受外力影响的曲线发展问题受到了有关学者的关注．文献[1-4]所研究的著名的平面曲线收缩流，证明了在曲线发展过程中，平面上的初始闭凸曲线仍保持凸性，并且变得越来越圆，最后，在有限的时间内，收缩成一个圆点．Gage[5]研究了平面上一种保面积流，这种流在发展过程中保持面积不变，曲线长度减小，保持凸性，最终收敛到一个圆．在Gage保面积流的基础上，Mao等[6]又提出了新的保面积流．文献[7-9]介绍了平面上三种不同类型的保长度流．Jiang和Pan[10]研究了一种曲线长度减小但其所围区域面积不断增大的非局部平面曲线，证明了曲线在发展过程中仍保持凸性且最终发展成一个圆．

本文的主要结论如下：

定理1 假设 F0（u）是平面上的一条光滑的闭的凸曲线，是一簇平面曲线且满足：

其中0≤α≤1．那么对任意的 t ∈ [ 0,+ ∞) ，曲线流问题（2）都有全局解，曲线保持凸性，曲线的长度保持不变和所围区域的面积增大，并且在发展的过程中，曲线变得越来越圆，当时间t趋于无穷时，曲线在 C0范数下收敛到有限圆．

1 预备知识

由于改变发展方程的切向向量只影响曲线的参数表示，而不影响曲线的最终几何形状[3,11]，所以可以选择一个适当的切向向量 m =m（u, t）来简化曲线的几何分析．因此，可以考虑如下与式（2）等价的发展问题：

注意到曲线的长度L以及它所围区域的面积A都是不依赖于m的，一般来说，θ是关于u和t的函数，为了使θ和时间t独……