郑连伟

【摘 要】在数学分析和高等数学的教材中都用泰勒公式证明二元函数存在极值的充分条件，很复杂。本文不使用泰勒公式，给出该条件一个简单、易懂的证明方法。

【关键词】二元函数；偏导数；极值

中图分类号：O172.1 文献标识码： A 文章编号： 2095-2457（2018）14-0183-001

DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457.2018.14.083

A simple proof of sufficient condition for the existence of extreme value of functions of two variables

ZHENG Lian-wei

（School of Sciences， Northeastern University， Shenyang 110819， China）

【Abstract】In mathematics analysis and higher mathematics textbooks， the sufficient condition for the existence of extreme value of functions of two variables is proved by means of Taylors formula. The proof is very complicated. In this paper， a simple and easy-to-understand proof of the sufficient condition is presented without using Taylors formula.

【Key words】Functions of two variables； Partial derivative； Extreme value

0 引言

高等数学是大学理工科专业必修的一门基础课程，其主要研究对象是函数。极值是函数的一个重要特性，导数是研究极值的基本方法。一元函数存在极值的必要条件是导数为零；二元函数存在极值的必要条件是偏导数为零。对于一元函数有利用一阶导数或二阶导数的正负号判断极值的充分条件，这个条件很容易理解和证明；对于二元函数有利用二阶偏导数判断极值的充分条件，它不能直观理解，而且难以证明。在著名的数学分析和高等数学教材[1-3]中利用多元函数泰勒公式证明二元函数存在极值的充分条件，很复杂，给教师的讲授和学生的理解带来了不便。尤其是高等数学课程，多元函数的泰勒公式不在教学要求内，因此根本无法讲授这样的证明，学生不能理解这个条件，只能死记硬背公式，这样不利于增加学生的学习兴趣。本文不使用泰勒公式，通过把二元函数转换成一元函数，给出其存在极值的充分条件的一个简单、直接、易于理解的证明方法，它完全适用于一般的多元函数，在高等数学的课堂上也能讲授，给学生提供一个完整的知识体系。

1 二元函数极值充分条件的……