基于模态区间分析的结构不确定性损伤评估

2018-09-13方圣恩黄继源

建筑科学与工程学报 2018年5期

方圣恩，黄继源，张宝

(1. 福州大学土木工程学院，福建福州 350116; 2. 福州大学土木工程防震减灾信息化国家地方联合工程研究中心,福建福州 350116)

0 引言

损伤评估作为结构健康监测的核心内容，应用于实际工程结构时必须要考虑不确定性因素，如材料非均质、边界条件不清晰、测试误差、模型误差等[1-2]，这就要求损伤识别问题的求解需要结合概率或非概率理论。可以采用概率可靠度理论[3-4]、模糊理论评估方法等[5]，一定程度上都能对结构损伤情况做出合理的评价，但要求准确给出不确定参数的概率密度函数或隶属度函数[6]。由于测试数据的缺乏和实际工程的复杂性，不确定性参数的分布类型经常难以描述或者不明确，导致计算误差较大。为了弥补这一不足，使用区间分析的非概率评估方法开始受到重视。Ben-Haim等[7]首次提出了基于凸集合模型的非概率可靠性概念；Qiu等[8]基于区间方法，认为非概率可靠性同不确定参量一样，应该是一个区间而非一个确定值；郭书祥等[9]将结构的不确定性参数扩展为区间变量，并基于区间分析提出了一种非概率可靠度分析方法。上述方法使用经典区间分析(Classical Interval Analysis，CIA)，能够在一定程度上解决不确定性因素问题，但是存在区间扩张问题，这往往会导致结果不收敛或错误的结论。

模态区间分析(Modal Interval Analysis，MIA)是在经典区间分析的基础上发展起来的一种非概率分析方法[10-11]，可以避免经典区间算法容易发生的扩张问题。在事先确定变量波动区间的基础上，模态区间分析将普通方程扩展成区间方程，并通过逻辑语义扩张重新释义区间方程，计算得到目标区间。该区间包括了在合理范围内产生的所有可能结果，涵盖了系统工作的所有可能状态[12-13]。

本文基于模态区间分析理论提出一种考虑结构不确定性参数的损伤评估方法，认为参数为具有上下限的区间数，从而将结构静力学方程扩展成区间方程，再根据模态区间释义和计算法则得到结构响应的区间包络线，最后通过对比模态区间包络线和确定值曲线的相交关系来判定结构是否损伤。同时对比了模态区间分析和经典区间算法、确定性方法的损伤评估结果。

1 经典与模态区间分析

1.1 经典区间分析

经典区间分析理论中，区间被定义成一组实数{x|a≤x≤b}，表示成X=[a,b]，可以看作由上下限a和b组成的一对有序实数，称为区间数。实数域R内的闭区间集合I(R)表示为

I(R)={[a,b]′|a,b∈R,a≤b}

(1)

若op表示实数的算法运算符，则相应的区间算法公式为

Z=XopY={xopy|x∈X,y∈Y}

(2)

区间Z是区间运算XopY的结果，由x∈X和y∈Y在运算中所有可能值组成。

若f为在域X=(X1,…,Xn)上n维变量x=(x1,…,xn)的连续函数，其联合扩张函数Rf的值域为

Rf(Xl,…,Xn)=

[min(x,X)f(xl,…,xn),max(x,X)f(xl,…,xn)]

(3)

fR(Xl,…,Xn)为f(x1,…,xn)的有理区间扩张函数，即f(x1,…,xn)中的x1,…,xn用X1,…,Xn代替，此时算子变成区间算子。

Rf(Xl,…,Xn)⊆fR(Xl,…,Xn)

(4)

由式(4)可见，fR计算的是区间的超界。由于在fR中丢失了Rf中的许多信息，使得fR的计算结果边界变大，甚至是发散的。

1.2 模态区间分析

模态区间分析是区间数学和模态逻辑的结合，利用模态逻辑理论中的模态谓词逻辑对区间进行语义学解释，从而得到符合模态逻辑语义解释的区间分析方法[14]，即MIA。为了避免混淆，用[a,b]′表示经典区间，[a,b]表示模态区间。

假设实数域R的闭区间集合I(R)={[a,b]′|a,b∈R,a≤b}，以及存在量词E和全局量词U，则模态区间定义为

X∶=(X′,QX)

(5)

式中：X′∈I(R)称作逻辑扩张；QX∈(E，U)称作模态。

不同的实数可以有相同的绝对值，同时符号却相反。模态区间也有类似的性质，即每一个模态区间在实数轴上可以有相同的闭区间，但同时又有相反的选择模态，即E(存在)或U(全局)。模态区间集合I*(R)表示为

I*(R)∶={(X′,{E,U}|X′∈I(R))}

(6)

模态区间按照上下限大小关系可分为2类：Prop(A′,QA)∶=(A′,E)=([a,b]′,E)∈I*(R)，称作存在区间或规范区间；Impr(A′,QA)∶=(A′,U)=([a,b]′,U)∈I*(R)，称作全局区间或不规范区间。

在模态区间运算中，连续函数可以得到2个语义扩张函数f*和f**，即若函数f在Rn到R上是连续函数，A∈I*(Rn)，则

(7)

(8)

式中：[f(ap,ai),f(ap,ai)]为点区间；(ap，ai)为模态区间A=(Ap,Ai)相应的划分部分，其中Ap为A中包含规范子区间的子矢量，Ai为A中包含不规范子区间的子矢量。

概念上f**与f*具有相似性，主要区别在于选取最大值和最小值的顺序不一样。

1.3 函数算例

首先运用CIA进行计算

[0，1][2，3]-2[0，1]+2[4，9]=

[0，3]-[0，2]+[8，18]=

[6，21]

由此可见，采用CIA运算法则得到的区间范围大于精确解，计算结果发生了区间扩张现象。采用MIA计算得到的函数值区间为[8,19]，与精确解相同。

2 钢箱梁算例

本文首先采用一根钢箱梁验证所提出的方法。简支单跨钢箱梁全长l=1.8 m，计算简图和截面尺寸如图1所示，F为荷载。梁受到2个竖向集中力作用，加载位置到左侧支点距离为a=0.45 m，b=0.9 m，梁截面下缘抵抗矩W=15.1×10-6m3，弹性模量E=200 GPa。以跨中应变值作为损伤指标进行损伤识别，计算公式

(9)

式中：σ为梁截面下缘点处应力；ε为对应的应变；M为截面弯矩。

跨中应变εl/2为

(10)

式中：M1/2为跨中弯矩。

将式(10)写成区间表达式

(11)

式中：假定L=[1.78,1.82] m，A=[0.43,0.47] m，B=[0.88,0.92] m，W=[1.46,1.56]×10-5m3，E=[190,210] GPa。

CIA和MIA计算得到的应变结果区间列于表1，同时采用各参数区间中值作为确定值，计算跨中确定性应变ε。第6个荷载步起，每荷载步E下降10 GPa来模拟损伤，在第12个荷载步时，E降为130 GPa。

表1 钢箱梁应变值Tab.1 Strain Values of Steel Box Beam

由表1可见，CIA计算的应变区间包络线包含了MIA的区间包络线，说明用MIA有效地避免了求解过程中参数的区间扩张现象。由图2可知，CIA和MIA曲线(上下限)分别为方法能够容许的最大值和最小值，确定性应变曲线在8.7 kN和10.5 kN时分别与模态区间上限和经典区间上限曲线相交，可以认为在该荷载下结构出现了损伤。由之前损伤假设可知，第6荷载步时出现了损伤，8.7 kN处于第8，9荷载步之间，说明MIA具有一定的识别滞后效应，这是由于此时损伤评估阈值是一个区间，不再是常规的确定值，因此确定性曲线与区间包络线相交是一个过程，从而发生了滞后。与此同时，CIA在第10，11荷载步时才发现损伤，可见MIA能够提前于CIA识别到梁的损伤。总体上，由于区间算法将确定性参数扩展成区间，允许参数计算值在一定范围内波动，而确定性曲线与区间上限相交，表示其超过了区间算法容许的范围，就意味着损伤出现。

3 钢筋混凝土梁算例

本文进一步采用一根钢筋混凝土简支梁验证所提出的方法，如图3所示。该钢筋混凝土梁名义长度l=3 m，于左侧三分点处受到一集中力F作用(a=1 m)。采用C30混凝土，弹性模量Ec=30 GPa；纵筋为HRB335钢筋，弹性模量Es=200 GPa。由图3换算得到梁截面下缘抵抗矩W=1.75×10-3m3。由式(9)求得加载点处的应变εl/3为

(12)

式中：M1/3为加载点弯矩。

将式(12)扩展为区间表达式，即

(13)

式中：区间A=[0.95,1.05] m,E=[28,32] GPa,W=[1.7,1.8]×10-3m3。

重新对方程进行模态释义后，计算每个荷载步对应的应变结果，列于表2。

表2 钢筋混凝土梁应变值Tab.2 Strain Values of Reinforced Concrete Beam

由表2可见，MIA计算得到的区间包络线比CIA窄，说明前者能有效避免区间扩张现象。由图4可见：F=10.5 kN时确定性应变曲线与MIA上限相交，即认为此时梁发生了损伤；在F=11.4 kN处确定应变曲线才与CIA上限相交，可见MIA可以比CIA更早识别出损伤，后者由于不可避免的区间扩张问题，导致了损伤识别的滞后。

根据《水工混凝土结构设计规范》(SL 191—2008)[15]中开裂荷载计算公式，有

(14)

I0=(0.083+0.19αEρ)bh2

(15)

y0=(0.5+0.425αEρ)h

(16)

计算得到Mcr=6 602 N·m，对应的外荷载F=9.9 kN，与MIA估计得到的10.5 kN接近，这是由于前述的滞后效应导致的。

相同限值下区间算法得到的开裂荷载会稍微滞后于确定值计算的理论开裂荷载。考虑到构件的加工和测量误差，实测构件的应变并不能严格按照确定值曲线分布，而是离散在一定区域内，所以仅凭确定性方法的计算结果一般不能判定结构是否损伤。区间算法则能将实测结果以区间形式表示，更符合实际情况。通过分析可知，CIA总会发生区间扩张，损伤评估滞后于MIA。后者能够更好地描述在不确定因素作用下结构的工作状态，并判断损伤时对应的外荷载。