赵文竹

（山东省胶东调水工程博兴管理站，山东 博兴 256599）

本文介绍的数学模型主要针对调水为目的的梯级泵站系统，进行数学建模依据流域的实际水利情况、现有工程和未来的规划方案等，设置各级泵站间的区间来水量和用水量两项参数进行计算辅助。

1 水位优化理论基础

1.1 提水扬程与泵站效率及功率的关系

梯级泵站的作用是，通过大型水泵将需要调配的水从水源水位提升到目标水位，如果沿途的水量损失可以忽略，则整个过程水泵需要对水做的总功为：W=mgH=mg（H1+…+Hi+…Hn）

式中W为总功；H为梯级泵站的总扬程；Hi分别表示各级泵站的扬程。

相应的梯级泵站总功率为：

式中ηZ表示当扬程为H时梯级泵站系统的总效率；ηi表示对应扬程下的各级泵站的效率值。当第i级泵站的机组台数大于1时有：

结合相关参数，对公式进行整理可得：

其中：

由以上公式，可知各泵站的效率和扬程有关，因此梯级泵站水位的优化工作便转化为了通过相关数学模型的计算，找出最优水位组合，从而满足设计要求，让整个系统达到总效率最高、总能耗最低。

1.2 水位情况及流量平衡计算

本文采用了“系统总能耗最小”作为优化的目标。在所有可能的影响因素中，流量和扬程是其中最为关键的两个因素。梯级调水工程与各梯级站的抽水流量直接相关，每一级泵站的进水量都可分为两个部分，一部分提供给下一级泵站，而另一部分还要供给本区域的日常用水，每一级泵站的总流量 qvi，t的公式：qvi，t=qvi+1，t+q′vi，t

泵站的扬程由泵站的进、出水位及水头损失决定：Hi，t=hi2，t-hi1，t+Δhi，t

2 建立水位优化模型

当水量变化处于一个相对较短的时间变化区间内各泵站的用水流量qvi，t保持不变，所以我们用q′vi将其代替，从而建立一个以总功率最小为目标，每一级泵站的总流量为自变量的水位输出模型，写成函数关系式如下：

结合相关数据及优化条件可得出每一级泵站内优化数学模型：

3 梯级泵站水位优化模型求解

3.1 设计并优化总扬程与各梯级泵站

1）确定阶段变量，即泵站的级数值；

2）赋予状态变量，即从1级泵站到i级泵站的扬程 Hi，当且仅当 i=n，有 H′n＝hn2-h11。其中 h11为首级泵站的进水水位，该数据根据水源水位高度和泵的抽水量计算得出。调水工程的水源为大型水源，则该数据应由实际测量得出；

3）确定第i级泵站的扬程数值；

4）确定状态转移方程：H′i＝H′i+1-Hi；

5）根据整个优化模型确定逆序递推方程：

3.2 各级泵站站内机组的优化

本文采用了之前分配给各级泵站的水位扬程数据进行最优解求算。如果各级泵站中有机组的性能相同，则可以按照平均分配原则制订优化方案，并进行最优化求解。具体操作如下：将各级泵站优化后得到的能耗数据，返回梯级泵站大系统进行优化协调操作，并不断将得到的新的离散水位数据输入系统进行循环计算，通过计算最终得到系统的最优值。

4 实际应用举例

某调水工程中的梯级泵站有4级，所有泵站设备参数见表1，并已知所有水泵的功率、扬程特性曲线。首级泵站的进水水位为18.5～21.0m，最后一级泵站的出水水位为43.0～44.0m；中间各级泵站的受水区水位分别是24.0～26.0m，29.2～31.5m和 36.7～39.0m。

表1 各级泵站设备参数

跟上述数据可知在某一短时调度时段，首级泵站进水位与末级泵站的出水位并无明显变化，将其视为一个固定的边界条件。所以在梯级泵站运行初期，可以先启动首级泵站的机组，让其抽水量大于下一级泵站，此时两级泵站之间的水位会逐渐达到最优，届时再停车该泵站的机组。

接下来进行具体计算，假设某时刻的抽水流量是10m3/s，各级泵站的初始状态参数见表2，计算方法如前文所述，计算结果见表2。在此次模拟计算中计算精确度为±1 cm，离散步长为1 cm，因此水位数据被分成200份离散值。应用第3小节所述方法和流程，利用VB对计算程序进行编写并实现计算和优化，其结果如表2所示。

表2 各级泵站初始状态参数和优化计算结果

5 结语

1）以上所有计算均基于一定的假设，因此在实际编程计算时，可做相应地简化。

2）在泵站的不同运行时段，各级泵站的进出水水位可能发生细微的变化，此时要据具体变化情况做出相应的优化。

3）最终结果的精确性对整个泵站的运行效率产生直接影响，所以在进行计算时，必须找出最佳的离散度，以满足计算所要求的精度。

4）从表2可以看出，经过优化后各级泵站的功率大约减小了1.70%，满足经济性要求。