赵鑫　林崇　刘焕霞

摘要： 针对时滞TS模糊系统时滞相关稳定性问题，本文在文献[9]的基础上进行改进，结合模糊线积分Lyapunov泛函方法和更为先进的一重积分不等式与新型双重积分不等式，得到了保守性更低的非线性时滞系统时滞相关稳定性条件。构建合适LyapunovKrasovskii泛函，运用两种积分不等式技术对泛函导数进行处理，所得到的判定准则一方面能获得更大的时滞上界，降低了保守性；另外，相比完全Lyapunov泛函、时滞分割等方法减少了决策变量，为检验本文结果的有效性和优越性，通过2个数值例子进行验证。验证结果表明，比现有成果所得到的稳定性准则面能获得更大的时滞上界，减少了决策变量，而且降低了保守性和复杂度。该研究对时滞TS模糊系统稳定性分析方法具有重要意义。

关键词： 时滞TS模糊系统； 模糊线积分Lyapunov泛函； 积分不等式； 稳定性分析

中图分类号： TP13； N941.1文献标识码： A

在现实生活中，大部分系统都是非线性的，但相比于对线性系统的分析与控制，对非线性系统的直接分析与控制要难得多。为解决此问题，人们提出了基于模型的模糊逻辑控制策略，其中最为常用的是日本学者在1985年提出的TakagiSugeno模糊模型[1]（TS模糊模型）。基于此理论，非线性系统可以通过该模糊模型建立TS模糊系统。众所周知，时滞现象大量存在于工业系统、通信系统、机械系统、网络系统及生态系统中，是系统不稳定甚至振荡的根源，并且经常出现在工程系统中。因此，对时滞TS模糊系统的研究不仅具有理论上的重要性，也具有现实意义。目前，在研究时滞TS模糊系统稳定性问题上，已经有许多有效的成果出现。通常解决时滞TS模糊系统稳定性问题采用LyapunovKrasovskii泛函方法，而在处理泛函导数的交叉项问题上，常见的有完全Lyapunov泛函法[2]、积分不等式法[35，1112]、自由权矩阵法[6]、时滞分割法[7，18]等。本文基于线性矩阵不等式（linear matrix inequalities，LMI）方法，利用TS模糊模型方法，对非线性时滞系统的稳定性分析进行研究。采用更为先进的一重积分不等式与新型双重积分不等式，结合模糊线积分Lyapunov泛函方法[89]给出了非线性时滞系统时滞相关稳定性的判定准则。同时，运用Matlab软件中的线性矩阵不等式（LMIs）工具包，对时滞TS模糊系统的稳定性给出新的LMIs时滞相关稳定性判据进行计算，并通过数值例子进行验证，与文献[2，1420]相比，本系统能获得更大的时滞上界，降低了保守性，减少了决策变量，验证了该方法的有效性和优越性。而且本文与文献[14]相比，没有引入自由权矩阵，进一步减少了决策变量。该研究有助于解决非线性系统的分析与控制设计问题。

1问题描述

对于非线性系统，考虑具有r个模糊规则的时滞TS模糊模型进行逼近。

模糊规则i：如果x1（t）是Fαi11，…，xn（t）是Fαinn，那么

（t）=Aix（t）+Aτix（t-τ）x（t）=φ（t），-τ≤t≤0（1）

其中，x（t）=[x1（t），x2（t），…，xn（t）]T∈Rn是状态向量；Ai，Aτi是已知的系统常量；τ>0为常量；初始条件φ（t）是连续可微的向量函数。状态是前提变量，针对第i个模糊规则，Fαijj是基于xj的模糊集。

通过对式（1）进行模糊融合，得到全局模糊模型为

（t）=A（x）x（t）+Aτ（x）x（t-τ）（2）

其中

A（x）=∑ri=1hi（x（t））Ai，Aτ（x）=∑ri=1hi（x（t））Aτi

这里，hi（x（t））是模糊规则i的隶属函数，且

hi（x（t））=∏nj=1μαijj（xj（t）），μαijj（xj（t））=wαijj（xj（t））∑rjαij=1wαijj（xj（t））

其中，wαijj（xj（t））是模糊集Fαijj的隶属度函数。μαijj（xj（t））满足如下条件

0≤μαijj（xj（t））≤1，∑rjαijμαijj（xj（t））=1

进而

0≤hi（x（t））≤1，∑ri=1hi（x（t））=1

本文利用模糊线积分Lyapunov泛函法，解决系统（2）的稳定性问题。

2准备知识

定义1[10]（lie导数）设h（x）：Rn→R是一个光滑的标量函数，g（x）：Rn→Rn是一个光滑的向量场，h（x）关于g（x）的lie导数定义为

Lgh（x）=Δh（x）g（x），其中Δh（x）=hx

如果，V（x）是Lyapunov泛函关于系统（2），则V（x）关于系统（2）=g（x）的lie导数为LgV（x）=ΔV（x）g（x）=ΔV（x）。

引理1[11]对于矩阵R∈Rn×n>0，标量a和b满足b>a，以及连续可微函数x（t），使如下积分不等式成立，即

（b-a）∫ba（s）R（s）ds≥[ΩT1ΩT2ΩT3]R3R5RΩ1Ω2Ω3（3）

其中

Ω1=x（b）-x（a）， Ω2=x（b）+x（a）-2b-a∫bax（s）dsΩ3=x（b）-x（a）+6b-a∫bax（s）ds-12（b-a）2∫ba∫bux（s）dsdu

引理2[12]對于矩阵R∈Rn×n>0，标量b>a，对于连续可微函数x（t），使如下不等式成立，即

∫ba∫buT（s）R（s）dsdu≥T1T2T32R4R6R123（4）

其中

1=x（b）-1b-a∫bax（s）ds， 2=x（b）+2b-a∫bax（s）ds-6（b-a）2∫ba∫bux（s）dsdu3=x（b）-3b-a∫bax（s）ds+24（b-a）2∫ba∫bux（s）dsdu-60（b-a）3∫ba∫bu∫bsx（r）drdsdu

本文为避免隶属函数求导，采用模糊线积分Lyapunov泛函方法[9]，研究系统（2）的稳定性问题。构造一个增广LyapunovKrasovskii泛函，即

V（xt）=V1（xt）+V2（xt）（5）

其中，V1（xt）是一个模糊线性积分Lyapunov函数，即

V1（xt）=2∫Γ（0，x）f（ψ）dψ（6）

式中，Γ（0，x）是系统初始状态到当前状态x的路径；ψ∈Rn是虚拟积分向量，dψ∈Rn是微小位移向量；其中，f（x）∈Rn是x的向量函数，拥有相同的模糊规则和隶属函数和模糊模型。

对于模糊规则i：如果x1（t）是Fαi11，…，xn（t）是Fαinn，则

f（xt）=ix（t）（7）

式中，i∈Rn是正定矩阵，且满足

i=+Di=0p12…p1np120…p2np1np2n…0，Di=dαi1110…00dαi211…000…dαin11（8）

由式（8）可以看出，i的对角元素根据基于前提变量的模糊集的模糊规则不同而变化，非对角元素对称相等。

对以上模糊向量进行融合，得以下全局模糊向量为

f（x（t））=∑ri=1hi（x）ix（t）（x）x（t）（9）

另外，V2（xt）选取泛函形式为式（9），即

V2（xt）=βT（t）Pβ（t）+∫tt-τxT（s）Qx（s）ds+τ∫tt-τ∫tuT（s）S（s）dsdu+∫tt-τ∫tu∫tsT（r）R（r）drdsdu（10）

其中，

β（t）=xT（t）∫tt-τxT（s）ds∫tt-τ∫tuxT（s）dsdu∫tt-τ∫tu∫tsxT（r）drdsduT；

P∈R4n×4n，且P>0，Q>0，S>0，R>0，為适当维数的矩阵。

3主要结果

本文由增广的LyapunovKrasovskii泛函（5）可知，V（xt）是正定的。因此，选取V（xt）作为候选的Lyapunov泛函，运用引理1和引理2，可得以下结果：

定理1对于给定的标量τ>0，系统（2）渐进稳定的充分条件是存在P∈R4n×4n，且P>0，n×n的矩阵Q>0，S>0，R>0及j>0（如（8）式定义）（i=1，2，…，r），使如下LMIs成立，即

Ξii<0（11）

Ξij+Ξji<0（12）

其中

Ξij=sym（eT0je1）+sym（ΠT1PΠ2）+eT1Qe1-eT2Qe2+τ2eT0Se0-ΠT3SΠ3-3ΠT4SΠ4-5ΠT5SΠ5+τ22eT0Re0-2ΠT6RΠ6-4ΠT7RΠ7-6ΠT8RΠ8（13）

其中

e0=Aie1+Aτie2，Π1=[eT1，eT3，eT4，eT5]T，Π2=[eT0，eT1-eT2，τeT1-eT3，τ22eT1-eT4]TΠ3=e1-e2，Π4=e1+e2-2τe3，Π5=e1-e2+6τe3-12τ2e4Π6=e1-1τe3，Π7=e1+2τe3-6τ2e4，Π8=e1-3τe3+24τ2e4-60τ3e5

其中，ei=[0n×（i-1）nIn0n×（6-i）n]∈Rn×5n，i=1，2，…，5。

证明选取式（5）中的Lyapunov泛函V（xt），由上述可知，V（xt）是正定的。下面证明LMIs（11）、（12）保证（xt）<0。通过上述lie导数的定义1和式（9）可知

1（xt）=ΔV1（xt）（t）=2fT（x（t））（t）=2xT（t）（x）（t）（14）

另外，对V2（xt）关于时间t求导，为了方便，将V2（xt）写成

V2（xt）=1+2+3+4

1=βT（t）Pβ（t），2=∫tt-τxT（s）Qx（s）ds3=τ∫tt-τ∫tuT（s）S（s）dsdu，4=∫tt-τ∫tu∫tsT（r）R（r）drdsdu

令

ξ（t）=xT（t）xT（t-τ）∫tt-τxT（s）ds∫tt-τ∫tuxT（s）dsdu∫tt-τ∫tu∫tsxT（r）drdsduT

其中

1=2T（t）Pβ（t）=ξT（t）sym（ΠT1PΠ2）ξ（t）（15）

2=xT（t）Qx（t）-xT（t-τ）Qx（t-τ）=ξT（t）（eT1Qe1-eT2Qe2）ξ（t）（16）

3=τ2T（t）S（t）-τ∫tt-τT（s）S（s）ds（17）

4=τ22T（t）R（t）-∫tt-τ∫tuT（s）R（s）dsdu（18）

对式（16）中的-τ∫tt-τT（s）S（s）ds项，根据引理1，可得

-τ∫tt-τT（s）S（s）ds≤ξT（t）-ΠT3SΠ3-3ΠT4SΠ4-5ΠΤ5SΠ5ξ（t）（19）

对（17）式中的-∫tt-τ∫tuT（s）R（s）dsdu项，根据引理2，可得

-∫tt-τ∫tuT（s）R（s）dsdu≤ξT（t）-2ΠT6RΠ6-4ΠT7RΠ7-6ΠT8RΠ8ξ（t）（20）

对式（14）～式（20）进行整理后，得

（xt）≤ξT（t）{sym（eT0（x）e1）+sym（ΠT1PΠ2）+eT1Qe1-eT2Qe2+τ2eT0Se0-ΠT3SΠ3-3ΠT4SΠ4-5ΠT5SΠ5+τ22eT0Re0-2ΠT6RΠ6-4ΠT7RΠ7-6ΠT8RΠ8}ξ（t）=ξT（t）Ξξ（t）

其中

Ξ=∑ri=1∑rj=1hi（x）hj（x）Ξij=∑ri=1h2i（x）Ξii+∑ri

进而，通过对模糊模型的解模糊，可得式（11）和式（12）成立，则（xt）<0。因此，根据李雅普诺夫稳定性定理，可得系统（1）稳定。

注1通过运用更有效的一重积分不等式（引理1）和新型二重积分不等式（引理2）在文献[9]的基础上进行改进，得到了保守性更低的时滞相关渐进稳定的充分条件。通过数值例子计算对比，该条件能够获得更好结果，且与文献[9]比，本文去除了自由权矩阵的引入，降低了保守性。

4数值例子

本节通过两个数值实例，与文献[2，7，9，1318]中的方法进行比较，说明本文结果的有效性和优越性。

例1对于多篇文献广泛研究的时滞TS模糊系统，其中

A1=-2101-02-09，A2=-190-02-11，Aτ1=-1101-08-09，Aτ2=-090-11-12

考虑以上具有两个模糊规则的数值算例，系统（2）渐进稳定时，时滞上限最大容许的τ值如表1所示。由表1可以看出，定理1的结果优于文献[2，7，9，13，1516，18]的结果，此外相比较文献[7]采用的时滞分割方法和完全Lyapunov泛函方法[2]，充分说明了本文方法的有效性和优越性。

例2对于多篇文献广泛研究的时滞TS模糊系统，其中

A1=-200-09，A2=-1050-1，

Aτ1=-10-1-1，Aτ2=-10-01-1

考虑以上具有2个模糊规则的数值算例，最大容许的时滞上限τ值如表2所示，由表2可以看出，定理1的結果优于文献[2，9，14，1718]且文献[18]采用了输入输出方法和时滞分割法，说明定理1的稳定性条件能够获得保守性更低的结果。

5结束语

本文主要利用TS模糊模型方法，对非线性时滞系统的稳定性分析进行相应的研究。较与文献[9]相比，采用更先进的一重积分不等式和新型二重积分不等式，并结合模糊线积分Lyapunov泛函方法，给出了保守性更低的非线性时滞系统时滞相关稳定性的判定准则。通过两个经典的数值算例进行验证，与文献[2]、[7]和[18]的完全Lyapunov泛函方法、时滞分割方法和输入输出方法相比，降低了保守性和复杂度。该方法可以应用到以后的反馈镇定、控制器设计中，是本文以后的研究方向。

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