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(广州大学数学与信息科学学院,广东 广州 510006)

●关丽娜

(深圳大学数学与统计学院,广东 深圳 518060)

三角形“五心”的向量表示指的是如下定理：

定理1在△ABC中，设P是三角形所在平面上任意一点，则

(1)

其中S△PBC,S△PCA,S△PAB表示有向面积.这个既有面积又有向量的等式(1)，称为三角形“五心”的向量形式.它将三角形“五心”的向量表达式统一起来.这里的“五心”指的是三角形的重心、内心、外心、旁心、垂心.

从形式上看，上述定理当属三角形“五心”的一个几何刻画.我们知道一个数学研究对象如果具有几何和代数上的两种刻画，那么该对象从某种程度上来说是优美的.“数形结合”思想说的就是这样的一种数学美.

数学具有美，三角形“五心”是其中一种数学美.那么用纯坐标(不涉及角度、边长)表示三角形“五心”的坐标也应该有它的优美.遗憾的是，国内少见有对三角形“五心”纯坐标形式进行刻画的文献(对于三角形外心和垂心的代数刻画可参见文献[1]).本文介绍Wildberger教授在文献[2]中引入的符号在刻画三角形重心、外心、垂心、九点圆圆心的坐标表达式中的应用.这种刻画是代数的，笔者利用三角形重心、外心、垂心的坐标表示给出了三角形重心、外心、垂心三点共线的一个证明.

1 符号的规定及例子

Wildberger教授在文献[2]第29页中引入了以下记号：

(2)

符号(2)等号的右边是一个3阶行列式.根据行列式运算法则，得

不失一般性，我们可以定义如下更一般的符号：

(3)

我们先看一些例题：

证明若直线li:Aix+Biy+Ci=0(其中i=1,2,3)三线共点，则

证……