李小柱

摘 要：对于普通公路上行驶的车辆来说，车辆的平面运动，可以视为一种跟随运动，即后边车轮始终朝向车头的一种跟随运动。但是跟随运动本身具有一定的复杂性，一般情况下都不能用简单的数学公式来描述，跟随运动的轨迹往往都是超越函数。即使在车头沿一条直线行驶时，如果车尾不在这条直线上，那么车尾的跟随运动轨迹仍然复杂。在实际货物运输过程中，由于货物重量非常大，经常会涉及液压平板车这种后轮转弯的车辆，在通过弯道时，往往会遇到弯道是否能够通过的难题。这需要提前进行弯道勘察后做出通过性预判，这就需要对这种车辆的平面运动进行数学分析，给出车辆通行的轨迹，这就是本文重点研究的内容[1-2]。本文通过数值计算得方法，对液压平板车进行了轨迹分析，对液压平板车在过直角弯道时的通行轨迹进行曲线拟合。同时给出了车辆外廓点的（外侧尾点）外侧扫空宽度，给车辆通过弯道时外侧预留的距离提供了重要参考。本文简单描述半挂车及特种半挂车的转弯模型，进而进行数学分析。

关键词：液压平板车；数值计算；曲线拟合；外侧扫空

中图分类号：U461.6 文献标识码：A 文章编号：1671-2064（2018）13-0237-04

1 普通半挂车的转弯模型

普通半挂车的转弯模型如图1所示。

图中AB为牵引车，BC为挂车，B点为挂点。根据半挂车的运动规律，B点跟随A点运动，即B点运动方向始终指向A且保持固定距离AB，C点跟随B点运动，运动方向始终指向B点，且保持固定距离BC。根据实际经验，即使牵引车的转向轮转交保持不变，AB与BC的夹角也会不断变化（AB沿直线行驶除外）。因此，现在就对一般的跟随运动做一个研究，找出一般性跟随运动的规律，那么挂车的转弯就可简化为两个一般性跟随运动的组合，从而确定其转弯通道。

2 特种半挂车转弯模型

特种半挂车，其平面转弯模式如图2所示。

由于其挂车部分能够转弯，故在道路上行驶时，转弯特性与普通半挂车有所不同，其突出表现为在通过弯道时，其挂车部分不能紧靠道路外侧行驶，否则挂车车尾就会甩出道路外侧，跑到道路以外。因此，有必要对挂车部分的外侧尾点进行数学分析，分析其在正常转弯时轨迹凸出道路外侧边缘的部分，以便在轉弯时预留出转弯时的外移部分。

3 跟随运动数学分析

跟随运输数学分析如图3所示，设点A在平面内运动，运动轨迹方程为，在平面内存在连续二阶导数，B点跟随A运动，方向始终指向A，且与A保持固定距离d，求B的运动轨迹方程。

由刚体平面运动可知，A、B始终绕A、B构成的体系的速度瞬心转动，A在外圆上，B在内圆上，且外圆半径R及内圆半径r都是转角的单值函数。

上式即为一般跟随运动的跟随点运动轨迹方程。很显然，这个微分方程对给定的情况下也很难求出解析解，故下面将用数值计算，然后对散点进行数值进行曲线拟合的方法来求解。

4 用数值计算法对跟随点轨迹进行分析

当A点沿某一轨迹移动时，B点始终与A点保持固定距离，朝向A点移动，设其真实移动轨迹为gc，求B点的移动轨迹。

以下按照数值计算的方法进行模拟图4所示。当A从A0移动到A1时，由于B点始终朝向A移动，因此可以认为当步长很小时，近似认为B朝向A0A1的中点即A0-1点移动，因此在一个步长完成之后，由于A的轨迹已知，因此在确定步长后A01的坐标也为已知，同时，由于一个步长后B1A1的距离仍然为固定值，因此可以确定唯一的B1点。然后把A的轨迹划分为多个很小的步长，以此类推，可以确定B2、B3...直到Bn点的坐标，再用曲线拟合的方法，即可求出B点的移动轨迹。

当C点朝向B点移动时，计算的原理也与上边相同，这样就可以求出C点的移动轨迹。

5 外角点的计算

由于液压平板车后轮转弯的特性，车尾的外角点轨迹将成为车辆转弯通道圆的外轮廓。同时，由于车辆向任意一侧转弯时，车尾总是向相反的方向转弯（见前图2所示），故车辆不能像普通半挂车一样紧贴道路外侧边缘行驶。因此，车尾外扫空也是需要重点考虑的一点，从而需要对车辆外角点的轨迹进行计算。车辆外侧角点坐标计算图5所示。

当C点运动到任意一点CK时，CK坐标已知，同时其运动方向根据前面讨论也为已知（方向为过CK与BK-K+1的直线的方向）。

又从CB到CD的角度也为已知量（见图7所示），设其为α，距离也为固定值，设其为e，则根据平面几何，车辆在C点到达CK时，DK点的坐标为：

由以上计算图示可得，DK点坐标为：

XDK=XCK+e·cos（tan-1hc（XK）+α）

YDK=YCK+e·sin（tan-1hc（XK）+α）

式中hc（XK）可简化考虑为前边已经计算出的过CK与BK-K+1的直线方向。故而可直接由y=hc（x）求出D点轨迹。

6 对具体车辆实际轨迹进行计算分析

前面对计算得方法、误差估计、曲线拟合都给出了实际计算分析的方法，现就具体车辆进行分析计算。具体数据如下：

3纵列12轴线，牵引车用奔驰3353，死轴（液压平板的不转向轴）正常定为液压平板挂车部分从前往后第6轴线，牵引车转向轮初始转角30°（根据实际工程统计得出，为减小挂车内侧的扫空，车头往往推迟转向，走过的实际轨迹大概相当于起始转角30°的圆弧），通过90°弯道后直行一段距离。

坐标系以转弯前挂点为坐标原点，两个转向轮的中点设为A点，挂点为B点，挂车中点为C点，D点位车尾角点。车辆实际转弯平面图6所示，车辆转弯数学分析基础数据及模型图7所示。

以下是用excel按照一定步长模拟计算得结果（片段）表1所示：

7 曲线拟合

7.1 最终C点的拟合曲线y=hc（x）

C点轨迹图8所示，根据数值计算得坐标点进行曲线拟合，得到拟合曲线：

y=hc（x）=3×10-9x3+1×10-4x2+1.2498x+4800.4

并且拟合相对误差小于1%，精度满足要求。

7.2 车辆尾点的外侧角点的曲线拟合扫空宽度

D点轨迹图9所示，根据计算，D点的Y轴负向最小值为-5294.2mm（以B点位坐标原点），在考虑车外侧本身半宽为1.495m的情况下，D点，即外侧角点向外的最大扫空为3.799m。

8 结语

对于液压平板车而言，当车辆通过弯道时，挂车中点的运动轨迹可以用一个三次函数进行表达，同时精度可以满足要求。当挂车的长度及死轴位置发生变动时，只需要根据实际情况调整计算参数即可求出一个满足实际精度要求的轨迹。另外，由于液压平板挂车的后轮转弯特性，其外侧扫空不容忽视，其外侧最大扫空也可根据特定的算法求出，在通过弯道时应提前留出外侧扫空宽度，从而保证车辆在转弯时能够顺利通行。

参考文献

[1]唐旭清.数值计算方法[M].科学出版社，2016.

[2]甘志国.平面解析几何[M].哈尔滨工业大学出版社，2014.