李爱君 周战荣 朱海飞

(火箭军工程大学基础部，陕西 西安 710025)

2010年颁布的《理工科类大学物理课程教学基本要求》，将教学内容分为A类(核心内容)，B类(扩展内容)，其中量子部分有A类内容共10条，建议学时数是≥20学时[1]。实际教学中，教学学时缩减情况普遍，就量子教学学时，我校近10年基本维持在12～14学时，“波函数”内容是A类，而实际授课往往只有两个学时。其内容特点为：概念晦涩难懂，学时少，没有浸润、感悟、体会过程；教材[1-3]在本部分的内容处理上相对简化，多以介绍性的语言来描述和给出结论，学生常常是上课听不懂，下课看不懂，只能把基本、重要的概念当“句型”记住，完全一知半解，对知识没有系统性，结构性认识。

近几年笔者在教学中，尝试以《物理学》[2]教材的内容为基础，根据知识本身的联系，遵从学生的认知规律，从内容结构设计，教学方法选择，问题情境创设等方面进行课堂的设计，力求每次课的知识结构相对完整，研究方法突出，并使学生在“问题情境”中思考、探究，以帮助学生建立完善的知识结构，体会研究方法的科学性，感受物理学家研究问题的基本思路和方法，有效培养其研究、创新能力。本文立足教学实施，尽可能完整地展现教学过程。

1 内容结构

帮助学生建立物质“波粒二象性”的概念，理解波函数和薛定谔方程是量子力学状态描述的手段，理解波函数的统计意义是本次课的重点。教材[2-4]中相关内容的安排是，“德布罗意波”介绍德布罗意假设及实验证明，讨论“德布罗意波的统计解释”，然后是“不确定关系”，再是“量子力学简介”介绍波函数及其统计解释，薛定谔方程等，在按此顺序授课时，我发现学生常会造成概念混淆，不明了知识间的联系，无法建立正确的知识结构。为此，我将“微观粒子的波粒二象性”和“波函数及其统计解释”“薛定谔方程”等内容放在一起授课，通过一次课，突出微观粒子的“波粒二象性”属性和其运动状态的描述(即波函数和薛定谔方程)的关系，帮助学生形成完整、正确的概念和知识结构。图1是本次课的内容结构图。

2 教学方法

在本次课的重点环节，主要采用“问题式”“类比法”的教学方法。所设计的“问题”，一方面创设质疑争辩的环境，促进学生的积极思考和课堂参与；另一方面突出知识结构，便于学生建立完整的概念和知识体系。各环节设置的相关问题也标注在图1中。而“类比法”是非常重要的创新研究方法，其特点是根据“已知”探究“未知”，学生因为有了“已知”作参考，对“未知”的思考和探究更容易达成，在教学中使用“类比法”往往能将知识润物无声地渗透、融进学生的心里，也可使学生在收获知识的同时，有机会领悟“方法”在分析问题、解决问题、研究创新中的作用，使思想方法的教学自然、流畅、水到渠成。

3 教学实施

具体的教学过程如下：

教师可以引导学生理解提出这个问题的必要性，比如我们在研究质点的运动前，首先用位移、速度来描述质点的状态；如果想深入地研究微观粒子的运动，则对其进行状态描述就是首要的。由此引出本次课的内容：理解物质的波粒二象性，并对微观粒子的运动状态进行描述。

3.1 微观粒子的波粒二象性

波粒二象性的讨论，一方面使学生正确认识微观粒子的本性，另一方面是后续的“波函数”讲解的基础。由于“波动性”“粒子性”概念出自经典物理，可以请学生思考：微观粒子的“波粒二象性”其涵义，还是经典概念中的“波”和“粒子”吗？如果不是，它又是怎样的“波”，怎样的“粒子”呢？

通过与经典概念对比，领悟新概念。与学生一起回顾经典物理中“粒子性”“波动性”的概念。粒子性是指：①有一定质量，电荷，有“颗粒性”的属性；②有确定轨道，每一时刻有一定的位置和速度。波动性是指：①实在物理量的空间分布作周期性变化；②表现出干涉、衍射等现象。经典概念中粒子和波是传递能量的两种方式，相互独立，无法统一。

实物粒子由于表现出了干涉、衍射等现象，被认识到有波动性。所以教师可以以电子的干涉实验图样为例，分析微观粒子的运动特点。介绍时强调实验中即使让电子一个个通过狭缝，只要通过的足够多，接收屏上都能呈现类似干涉的条纹，同时给学生展示当有6个，100个，3000个，20000个，70000个电子在底片感光时的图样，并展开讨论，学生很容易得到结论：电子有“颗粒”属性，但没有确定的位置，也无轨道可言；表现出了类似于光的干涉、衍射现象，但并不是实在物理量的空间周期分布，即微观粒子兼有经典粒子的①属性和经典波的②属性。实验同时表明微观粒子的“波粒二象性”不是大量粒子的集体行为，而是单个粒子的行为，是实物粒子的本性，也就是在量子概念里，“波”和“粒子”不再独立，而是统一的。以上讨论说明微观粒子的波粒二象性与经典的波和粒子概念大相径庭！因此，对于实物粒子，需要有新的与其运动属性相符的状态描述方式。

3.2 自由粒子的波函数

关于实物粒子的波函数及其统计解释，薛定谔方程等内容的研究充分体现了物理学家研究问题的一般思路，作为教师可以有意识地引导学生假设自己处于当时的研究环境，面对所研究的问题，会有怎样的想法？该如何开展研究？这样做一方面可以激发学生的学习兴趣，形成热烈的充满质疑争辩的课堂氛围；另一方面使学生对物理知识的生产、形成以及结构都有更清晰的认识和感悟。

问题： 实物粒子的状态如何描述？从何处着手？

实物粒子既然是“波”，那请大家思考一下如何描述波呢？学生很容易想到曾用各位置质点的位移随时间变化来描述机械波，用电场(磁场)强度在时间和空间的变化描述电磁波，其形式都是位置和时间的函数，就是说，描述波动行为，通常引进相应的波函数来描述，当然实物粒子的波函数也应是位置、时间的函数，不妨用ψ(x,t)来表示。

ψ(x,t)的函数形式又是怎样的呢？遵照“先简单后复杂”的原则，选择最简单的粒子系统，最简单的运动形式来研究，也就是作匀速直线运动的自由粒子。

为了更好地理解本次课的类比关系，这里把自由粒子的波函数、波函数的物理意义，薛定谔方程中的类比关系列于表1。

表1 波函数部分的类比关系

在波函数部分讲解的开头或结尾，可以向学生介绍：关于描述微观粒子的运动规律，量子力学有两种不同的表示方式，一是由薛定谔根据德布罗意的波粒二象性假设，从粒子波动性出发，用波动方程来描述粒子和粒子体系的运动规律，这种理论也称波动力学，是薛定谔于1926年创建的，另一种是从粒子的粒子性出发，用矩阵形式来描述粒子和粒子体系的规律，这种理论是在1925年左右，由海森伯、玻恩、泡利等创建的，也称矩阵力学，两种理论完全等价。

3.3 波函数的统计解释

提出问题：波函数和描述对象如何对应？描述的是实物粒子的什么物理量？表达了怎样的意义？引导学生思考：如同在经典理论中，机械波的波函数y(x,t)是有确切物理意义的，表示位置在X处质点随时间相对其平衡位置的位移，既然波函数用于描述微观粒子的运动属性，它就是有物理意义的物理量。

授课过程中，此处可以适当介绍相关物理学史的内容，一方面强调确定波函数物理意义的重要性和必要性，一方面也使学生对物理学家的研究思路和探索精神有所体会。事实上，微观粒子的波动性由波函数来描述，是由薛定谔提出的，但“波函数是什么的问题”一直困扰着他，他作了很多尝试，却怎么也无法合理解释。波函数的物理意义最终由玻恩在两年后才给出。而玻恩仍是应用类比的研究方法，将爱因斯坦关于“光波振幅的解释”的思想迁移到对微观粒子波函数物理意义的确定上。玻恩曾回忆说：“爱因斯坦的观点又一次引导了我，他曾经把光波振幅解释为光子出现的概率密度，从而使粒子(光子)和波的二象性成为可以理解的。”[5]。授课时沿着玻恩的思想，讨论波函数与微观粒子的对应关系，也就是波函数的物理意义问题。

图 2(a) 光的干涉图样; (b) 电子的干涉图样

要确定波函数的物理意义，就是要找出函数与其波动性间的联系。我们通过比较光的干涉和电子的干涉图样，来探究波函数和波动性间的关系。图2中(a)是光的干涉图样；(b)是电子的干涉图样。我们试着用经典的波动性与粒子性观点来解释光的干涉图样。图2(a)，明暗相间的干涉条纹，经典的波动性观点认为，明纹处表示对应的光强比较大，而光强是正比于波振幅平方的|A|2；经典概念的粒子性观点则认为，明纹是到达该处的光子数目多一些，暗纹是到达该处的光子数目少一些，明暗条纹所对应的光子数目的多和少，就单个光子而言，显然是概率问题，明纹处，光子到达该处的概率比较大，暗纹处，光子到该处的概率比较小。如此解释光的干涉图样显然是讲得通的，这也正是上文提到的爱因斯坦的思想。

能不能将这样的思想迁移到对实物粒子干涉图样的分析上来？

由于前面的铺垫和引导，学生对电子的干涉图样分析基本可以自行完成，教师作适当补充即可，得到结论：所谓电子干涉图样，就是电子在空间概率分布的直观呈现，也即，实物粒子的波动性，是粒子在空间的概率分布，它与任何实在的物理量都没关系！这也正是波函数ψ(x,t)是复函数的原因(回答了在波函数结尾提出的问题)，而且波函数的模方|ψ|2，正表征了这种空间的概率分布；至此，出现了3个关键词：粒子、波、概率，三者联系紧密且蕴含丰富：波是粒子的波，波是概率的波，而概率也是粒子的概率，神奇的自然界，伟大的物理学，学生可以慢慢品味这其中真意。

“物质波并不像经典波那样代表实在物理量的波动，物质波是描述粒子在空间概率分布的‘概率波’。波函数的|ψ|2是描述粒子空间概率分布的“概率幅””。波函数的物理意义是玻恩在1926年给出的，由于他用到了概率的概念，也称为波函数的概率诠释。波函数看似描述了微观粒子的“波”属性，但用概率来描述空间分布，也与其没有确定位置、轨道等的“粒子”属性相吻合。最后说明波函数的物理意义，标准化和归一化条件。

探究、讨论式的教学过程及类比法的应用，使学生充分思考，逐步深入，水到渠成地达成教学目标，当波函数的物理意义“昭然若揭”时，此刻，直接给出玻恩对波函数的物理诠释是恰当的，学生很容易理解和接受。

3.4 薛定谔方程

首先讨论建立波动方程的必须性。波函数是对微观粒子某一时刻的状态进行描述，当其状态发生变化时，还需要寻找、确定波函数所满足的方程。比如经典力学中，质点在某一时刻的状态为已知时，由质点的运动方程可以求出以后任意时刻质点的状态。量子力学中情况也类似，有了波函数，还需确定波函数随时间变化的方程，即薛定谔方程。

物理背景介绍：1925年，在苏黎世定期召开的物理学讨论会上，薛定谔被主持人德拜指定作有关德布罗意工作的报告。报告之后，得拜表示不满，向他指出，研究波动就应该先建立波动方程。薛定谔在他的启示下，开始研究这个问题，几星期后，薛定谔再次报告，宣布找到了这个方程[5]。

引导学生思考，波函数与波动方程是什么关系？如何确定？以机械波的波函数与波动方程为例，讨论二者的关系，并思考由微观粒子的波函数确定波动方程的可能方法。本部分重点是讨论薛定谔方程建立的基本方法和思路，不注重推导。

继续采用类比的方法。在经典物理部分，机械波的波函数和波动方程分别是式(1)和(2)

而二者之间的关系，可以简单表述为式(1)是式(2)的解，或者说将式(1)代入式(2)成立。类似的，我们可以说微观粒子的波函数，即式(3)，

ψ(x,t)=ψ0ei(pxx-Et)/

(3)

应该是我们要寻找的微观粒子的波动方程的解，又因式(3)和式(1)有类似的形式，如此，我们是不是可以应用类比法，猜测微观粒子的波动方程也可能与式(2)有类似的形式？或者说将式(3)分别对x和t求二阶偏导数，并将二者建立联系即可呢？不妨先求出相关导数：

联立式(5)和式(7)，很容易得到

(8)

此时，教师请学生观察方程，同时提出问题：式(8)是我们要找的波动方程吗？与学生一起分析：由于我们要建立的是描写波函数随时间变化的方程，因此它必须是波函数应满足的含有时间微商的微分方程，此外，方程还应满足：方程的系数不包含状态的参量，如动量，能量，因为如果方程的系数含有状态的参量，则方程只能被粒子的部分状态所满足，而不能被各种可能的状态所满足[6]。由此，学生很容易观察出式(8)不符合该要求。

(9)

式(9)不含状态量，只与粒子质量属性有关，这就是一维运动的自由粒子的波动方程，当然也很容易推广到三维的情况

i2ψ(r,t)

(10)

此即自由粒子的薛定谔方程。薛定谔方程是非相对论量子力学的基本方程，其地位与牛顿方程在经典力学中的地位相当，应该认为是量子力学的一个基本假定，并不能从什么比它更根本的假定来证明，其正确性，归根到底，只能靠实验来检验。

4 结语

本次授课将结构设计，教学方法选择，问题情境创设相结合，使学生建立了完整的知识结构，感受到研究的方法性和探究的科学性，教学效果良好。笔者认为“量子物理”部分的教学，内容安排上力求结构完整，条理清晰；教学实施上，突出方法的作用，淡化相关数学推导；适时适当地提出问题，创造质疑争辩的环境，同时引领思考和探究的方向，几个方面的结合，可以使“量子物理”教学突出重点，化解难点。

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