魏同利 郝惠娟 马天鹏

(1北方民族大学电气信息工程学院； 2宁夏大学预科教育学院，宁夏 银川 750021)

算术平均值法、逐差法和最小二乘法是常用的3种处理等间距线性数据的方法。但是由于对这3种方法的前提、假设和使用条件的介绍和讨论相对较少，在实验教学和工程应用中出现了一些混乱，误差处理中张冠李戴的现象并不少见。一些作者已注意到该现状，就相关问题写了一系列文章[1-7]。比较具有代表性的，如高永祥[5]认为“普通最小二乘法与加权最小二乘法(逐差法)的前提条件和基本假定是不相同的，不能在相同模型下比较普通最小二乘法和逐差法的优劣,否则,方法和模型会产生矛盾,得出错误结论”，给出不能否定也不能滥用逐差法的论断；吕大韵提出“就其本质而言，逐差法主要是为了减小系统误差的影响”[6]。

现行的研究相对局限在对方法本身“好或不好”的讨论上，而对方法的基本假设及其所处理的“对象(数据)”缺乏系统研究。我们认为每种方法都有其假设的条件,方法是否合用，在于该方法的假设和具体数据之间的贴近程度。数据越贴近所用方法的假设，所得到的结果就越好，其对应的标准误差越小；反之，结果就较差，其对应的标准误差也较大。为了澄清该问题，我们以任意两点所确定的直线为研究对象，针对等间距线性数据，对算术平均值法、逐差法和最小二乘法的基本假设进行了研究，通过确定每条直线在不同处理方法中的权重，对3种方法各提出一种等效假设。由此假设出发，建议了3种数据类型的处理方法: 在标准误差对最小间隔相等的数据类型中，经算术平均值法计算的斜率，标准误差最小；在标准误差对每一点相等的数据类型中，通过最小二乘法计算的斜率，标准误差最小；最后在不等精度的假设下(相当于一种加权平均值法),定量给出了逐差法最优的标准误差分布，测量数据的标准误差由两端向中间区域以1/2次方的速率衰减时，经逐差法计算所得的斜率，标准误差最小。

1 3种线性处理方法的等效假设

设线性数据由2n个等间距的测量点组成，分别为(x1,y1),…,(xi,yi),…(x2n,y2n)。设相邻两点满足Δx1=…=Δxi=…=Δx2n-1=Δx，其中Δxi=xi+1-xi。将相邻两点构成的区间称为一个基本区间，其y值之差可分别表示为Δy1,…,Δyi,…,Δy2n-1，有：Δyi=yi+1-yi。

1.1 算术平均值法的等效假设

算术平均值法可看作任意两点所确定的直线斜率的加权运算。其加权方式可由以下假设确定:

① 最佳直线的斜率由所有基本区间的斜率按照其权重相加；

② 任意基本区间等权。

(1)

其中,bm表示该假设下等间距线性数据的最佳斜率,与平均值法的结果是一致的。

1.2 逐差法的等效假设

逐差法同样可以看作任意两点所确定的直线斜率的加权运算。其加权方式可由以下假设确定:

① 最佳直线的斜率由所有可能的包含n个基本区间的直线斜率按照其权重相加；

② 任意包含n个基本区间的两点确定的直线等权。

(2)

其中，bz表示该假设下等间距线性数据的最佳斜率，此假设所得到的斜率和逐差法的处理结果是一致的。可求得每一基本区间的权重为

(3)

1.3 最小二乘法的等效假设

最小二乘法也可以看作直线的加权运算。其加权方式可由以下假设确定:

① 最佳斜率由所有可能直线的斜率按照其权重相加；

② 直线权重与确定它的两点之间的基本区间个数的平方成正比。

此假设下，由指标为i和j的两点确定的直线的权重可以表示为

Ci,j=(j-i)2w

(4)

其中,w为基本区间即相邻两点所确定直线的权重。在此假设下，等间距线性数据的斜率可计算如下

(5)

按照最小二乘法的计算规则，其斜率可推导如下：

(6)

该假设的基本区间权重系数和最小二乘法计算的结果中都包含有n2-(n-i)2项，由于其他参量与指标i无关，可知此假设是正确的。由式(6)可得任一基本区间的权重

(7)

2 最佳斜率的标准误差

2.1 基本区间等权的数据类型

在基本区间的误差满足正态分布且标准误差都相等时，每一基本区间的标准误差为

σ(Δy1)=σ(Δy2)=…=σ(Δyn)=σ

(8)

的标准误差平方为

(9)

算术平均值法最佳斜率的标准偏差为

(10)

依据式(3)和式(7)，可求得该假设下，逐差法和最小二乘法所求得的最佳斜率的标准误差

(11)

比较式(10)和式(11)，可以看出算术平均值法的标准误差最小。

2.2 点等权的数据类型

在每一点的误差满足正态分布且其标准误差相等的假设下，取每一点的标准误差为

σ(y1)=σ(y2)=…=σ(yn)=σ

(12)

(13)

(14)

应满足最小值条件。任意两条直线的权重满足以下条件

(15)

(16)

此权重系数和最小二乘法的基本假设完全相符：任两点确定的直线的权重与其包含的基本区间的个数的平方成正比。所以在点等权的数据类型中，最小二乘法所得的斜率的标准误差最小，其最佳斜率的标准误差为[7]

(17)

依据式(1)和式(2)，可求得算术平均值法和逐差法的最佳斜率的标准误差

(18)

可知在点等权的数据类型中，最小二乘法和逐差法最佳斜率的标准误差都与n3/2成反比，而算术平均值法最佳斜率的标准误差与n成反比，故在这种假设下最小二乘法和逐差法远优于算术平均值法。

2.3 逐差法最优的数据类型

我们依据式(1)、式(3)和式(7)绘制了n=16时，3种方法所求最佳斜率的基本区间权重的分布图(图1)。算术平均值法对应基本区间的平权运算；逐差法的权重在中间n指标区域最大，起始和末尾区域的权重最小；最小二乘法在起始、中间和末尾区域的权重介于算术平均值法和逐差法之间。即算术平均值法、逐差法和最小二乘法都可以看作对基本区间的加权运算。

图1 权重因子与位置的关系

由2.1节和2.2节的讨论，在关于斜率的计算中,算术平均值法和最小二乘法都有与其对应的等精度数据类型，分别以算术平均值法和最小二乘法斜率的标准误差最小。但在实际的问题中，等精度假设有时是不能成立的。逐差法的数据类型恰是这样一种不等精度的数据类型。通过式(3)中的权重因子的比较，我们以不同位置基本区间的标准误差为研究对象，给出其标准误差的分布。其论证过程如下：逐差法作为该假设下最优的方法，每一基本区间的权重因子应使得Δy的标准误差最小，即:Δyz=w1Δy1+…+wnΔyn的标准误差最小，其标准误差的平方可以表达为

(19)

(20)

(21)

图2 逐差法的标准误差分布

最佳斜率的标准误差为

(22)

3 结论

本文通过直线加权的方式系统考察了处理等间距线性数据的3种方法：算术平均值法、逐差法和最小二乘法。针对3种处理方法各提出一种较为直观的等效假设：算术平均值法只考虑相邻点所确定的直线，并等权地处理它们；逐差法考虑包含n个基本区间的两点所确定的直线，等权的求其平均；最小二乘法则考虑了所有可能直线的影响，其权重与两点之间的距离的平方成正比。

提出以算术平均值法、逐差法和最小二乘法为最优方法的3种数据处理类型：在标准误差对最小间隔等权的数据类型中，经算术平均值法计算的斜率，标准误差最小；在点等权的数据类型中，经最小二乘法计算的斜率，标准误差最小；在不等精度的假设下,定量给出了逐差法最优的数据类型：测量数据的标准误差由两端向中间区域以1/2次方的速率衰减。对于这种两端区域精确度低，中间区域精确度高的线性数据，选用逐差法是较优。在具体的测量中，必须仔细分析误差的性质和来源，以确定线性数据的种类，选用合适的处理方法。

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