赵雪娇　文小波

摘要：本文利用威尔逊定理，用两种不同的方法证明推论1；对叶寿坤提出的推论2进行修订、扩充、证明得到推论2。

关键词：威尔逊定理；推论；证明

一、引言

威尔逊定理、欧拉定理、孙子定理和费马小定理被称为初等数论的四大定理。其中的威尔逊定理[1]由英国威尔逊提出，1773年法国数学家拉格朗日首次证明该定理。1996年，李明波質疑并推翻了威尔逊定理，他认为当n=1时满足 为整数，但是n却不是素数。李明波纠正了威尔逊定理，给出了纠正后的结果并进行证明[2]。现在，一些书籍[3、4、5]把威尔逊定理的充分性和必要性分开来描述，把其充分性称为威尔逊定理。

Rosen在[3]中提出关于威尔逊定理的一个结论，但没有给出证明。本文采用两种不同的方法对该结论进行证明，得到文中推论1。1983年，叶寿坤[6]提出威尔逊定理的一个推论，但该推论存在问题，本文对该推论进行修订扩充，得到本文的推论2。

二、威尔逊定理及两个推论的证明

威尔逊定理 若p为素数，则 。

推论1 若p为素数， 且 ，

则 。

证明：方法一 数学归纳法

当 时，由威尔逊定理有 ，结论成立；

假设取k时结论成立，即 ；

取 时，有 ，

因为 ， ，

所以由同余式的性质有 ，故由假设有

方法二 因为 ，

所以

又因为 ，

所以

又因为 ，

所以

以此类推，可得

将上述式子左右两边相乘，

有 ，

由威尔逊定理有

1983年，叶寿坤给出威尔逊定理的两个推论[6]，其中推论2如下：

推论2 p为素数，若存在 ，

使得 ，则

。

推论2中的条件 应修改为 ，并对该推论进行扩

充得到如下推论：

推论2 若p为素数， 且 ，则