高 新，袁健华



椭圆方程最优控制问题的数值算法研究

高 新，袁健华

（北京邮电大学校理学院，北京 100876）

本论文引入原对偶方法（P-D）以及交替方向乘子法（ADMM）两种算法求解椭圆方程约束的最优控制问题，要讨论的椭圆方程是一种对流扩散方程。论文解决了在无状态约束和盒子约束的情况下对流扩散方程控制的问题。本文首先分析了最优控制模型解的存在唯一性以及一阶最优性条件，随后利用有限元方法将原始优化模型转换成优化离散系统。此后，利用P-D以及ADMM分别求解离散优化系统。ADMM是具有对偶上升法的可分解性以及乘子法的全局收敛性两大优势的一阶收敛算法，另外P-D也是具有全局收敛的一阶收敛算法。本论文目的在于将P-D和ADMM两种算法在收敛速率维度上进行比较。最后从数值实验中得出ADMM的收敛速率快于P-D，证实了ADMM是一个高效的优化算法。

最优控制；椭圆方程约束；交替方向乘子法；原对偶方法；有限元

0 引言

偏微分方程（PDE）约束的最优控制问题，起初是在80年代的法国数学家J.L.Lions的著作《Optimal control of systems governed by partial differential equations》中提出的[1]，现已成为非常受关注的交叉学科。偏微分方程约束的最优控制问题有十分广泛的应用，涵盖了物理，化学，甚至工程设计领域，比如水库管理，医疗器械的形状优化，天气预报，热现象，流体问题等。

为解决PDE最优控制问题，很多学者已经提出了多种有效的算法，其中牛顿型迭代解法较为常见[2]。牛顿迭代解法具有局部二阶收敛的性质，但是很多种牛顿迭代求解的方法对迭代初始点的选取非常严格[3]。……