叶 松，许明坤，张自锋

（巢湖学院 机械与电子工程学院，安徽 合肥 238000）

转动惯量是研究刚体运动所必需的基本物理量之一.匀质三角薄板是重要的平面结构，它可以和弓形等结构构成工程中常用的复杂刚体结构[1,2].由于转动惯量的可叠加性，讨论匀质三角薄板的转动惯量对分析复杂刚体结构的转动惯量非常有用.文献[3]给出匀质三角薄板对经过质心的任意转轴的转动惯量，但计算过程繁琐.文献[4-7]推导了三角形框刚体的转动惯量，但是该结论不能直接推广到匀质三角薄板刚体.在工程实践中平面刚体定轴转动的Z转轴一般都是垂直刚体平面，因此得到适用匀质三角薄板质心的转动惯量的简洁公式是有必要的.本文基于平行轴定理和垂直轴定理简捷地推导出匀质三角薄板刚体的质心转动惯量公式.

1 匀质三角薄板对坐标轴的转动惯量

已知垂直轴定理对给定Z轴的转动惯量与在薄刚体平面的X轴和Y轴选取无关.因此为了使讨论过程简洁，设匀质三角薄板底边AB在X轴，高OC在Y轴，顶点A、B和C的坐标如图1所示.

图1 计算匀质三角薄板对X轴转动惯量时的质量微元示意

首先讨论匀质三角薄板对X轴的转动惯量.取细杆微元位于[h',h'+dh']，长为L'，其对X轴的转动惯量微元是：

(1)式中σ是匀质三角薄板的面密度，其中：

式(2)和(3)中L和h是AB和OC的长度.

图2 计算匀质三角薄板对Y轴转动惯量时的质量微元示意

其次讨论匀质三角薄板对Y轴的转动惯量.如图2所示是匀质三角薄板的A、B顶点X轴坐标值满足x1x2≤0和x1x2＞0的两类情形.匀质三角薄板对Y轴的转动惯量，对图2(a)所示情形，等于△AOC和△BOC对Y轴的转动惯量之和；……