韩英波, 蒋凯歌, 张倩玉

(信阳师范学院 数学与统计学院, 河南 信阳 464000)

0 引言

设u:(M,g,e-φ(x)dvg)→(N,h) 是从光滑度量测度空间(M,g,e-φ(x)dvg)到另一个光滑黎曼流形(N,h)的光滑映射.WANG和XU[1]研究的能量泛函如下:

对于调和映射和推广的调和映射,其中一个重要的问题就是研究它们的刘维尔型定理[2].WANG和XU[1]在Bakry-Émery Ricci张量的条件下得到了关于推广的调和映射的刘维尔型定理.Bakry-Émery Ricci张量的表示如下:

其中RicM是(M,g)的Ricci曲率.

另外,FARDON和RATTO[3]引入了具有势函数的调和映射.由于势函数的存在,他们发现具有势函数的调和映射具有与一般调和映射不同的性质.之后,具有势函数的调和映射被广泛研究[4-6].

引进泛函EF,φ,H如下:

其中F:[0,)→[0,)是一个C2函数且F(0)=0,在[0,)上F′(t)>0.如果对于任意紧支集变分ut:(M,g,e-φ(x)dvg)→(N,h)在u0=u时有

那么称u是关于EF,φ,H(u)的具有势函数H的拟-F-调和映射.本文利用应力-能量张量,在H和Bakry-Émery Ricci张量的条件下得到具有势函数的拟-F-调和映射的一些刘维尔型定理,同时也引入弱拟-F-调和映射的概念并得到一些刘维尔型定理.

1 预备知识

(1)

引理1(第一变分公式) 设u:M→N是一个C2的映射,则

证明由文献[6]引理1可知此引理结论成立.证毕.

设T是对称的(0,2)型张量场,X是一个向量场,利用Stokes定理,得到积分公式如下:

(2)

其中ν是沿∂D的单位外法向量场.

引理2[7]设(M,g)是完备单连通无聚点的黎曼流形.设r是与x0有关的距离函数.如果RicM≤-b2且b是正实数,那么△r≥brcoth(br).

△φ=△-〈,φ〉.

2 应力-能量张量

设u:(M,g,e-φ(x)dvg)→(N,h)是一个光滑映射,它的F-应力-能量张量[8]被定义为:

引入泛函EF,φ,H(u)的应力-能量张量:

e-φ(x)[SF(u)-Hug].

(3)

命题1 对于M上的任意向量场X,都有

[divSF,φ,H(u)](X)=-e-φ(x)h(τF,φ,H(u),du)-

(4)

证明取M上一点x的局部正交标架场{ei}且

在x点处,有

-e-φ(x)h(τF,φ,H(u),du(X))-

于是命题得证.证毕.

推论1 对于任意的X∈Γ(M),

[divSF,φ(u)](X)=-e-φ(x)h(Θ,du(X))-

(5)

其中

由命题1和推论1知,如果u:(M,g,e-φ(x)dvg)→(N,h)是具有势函数的拟-F-调和映射,那么

[divSF,φ,H(u)](X)=

(6)

[divSF,φ(u)](X)=e-φ(x)h(NHu,du(X))-

(7)

由式(2)、式(6)和T=SF,φ,H(u),可以得到

(8)

由式(2)、式(7)和T=SF,φ(u),可以得到

(9)

定义1 光滑映射u:(M,g,e-φ(x)dvg)→(N,h)称为具有势函数的弱拟-F-调和映射,如果对于任意的X∈Γ0(TM)都满足下式

(10)

引理4 设X是包含在M内部具有紧支集的一个光滑向量场,则有

(11)

证明由式(2)可知此引理结论成立.证毕.

利用式(4)、式(5)、式(6)、式(7)和式(11),如果u:M→N是具有势函数的弱拟-F-调和映射,那么对于任意的X∈Γ0(TM)都有

(12)

h(NHu,du(X))]e-φ(x)dvg=0.

(13)

3 刘维尔型定理

设(M,g)是具有极点x0的完备非紧的黎曼流形.

设B(r)={x∈Mm:r(x)≤r}.用λmax(或λmin)表示在Mx0中的每一点上的Hess(r2)-dr⊗dr的最大(或最小)特征值.设(Nn,h)是一个黎曼流形,H是N上的一个光滑函数.

定理1 假设(M,g)有非正的截面曲率

-a2≤KM≤0,

(a)RicM≤-b2且b≥2adF;

则EF,φ,H(u)<时具有势函数的任意拟-F-调和映射u:(M,g,e-φ(x)dvg)→(N,h)一定是常值映射，其中dF定义为:

(14)

(15)

在条件(a)下,由引理2和式(15)可得

设H(r)=rcothr,直接计算可得

(16)

则有

(17)

由式(16)和b≥2adF,可得

(18)

在条件(b)下,由引理3和式(15)可得

2adFrcoth(ar)].

(19)

由式(16)和b≥2adF,可得

(20)

假设u不是常值映射,取充分大的正数R0和充分小的正数r0,使得

(21)

其中C是一个正常数.由式(16)、式(17)、式(19)和式(21)可得

(22)

其中δ是仅依赖于r0的一个正实数.当R≥R0时,由式(14)和式(22)可得

(23)

这与假设EF,φ,H(u)<矛盾.于是定理得证.证毕.

注记1 当F(t)=t,H=0,即得定理1[1].

推论2 设u:(M,g,e-φ(x)dvg)→(N,h)是具有势函数的拟-F-调和映射,(M,g)有非正截面曲率-a2≤KM≤0.设b,c0是两个正常数,φ(x)=-c0lnr,H≤0(或Hu(M)≤0)且0

特别地,如果

那么具有势函数的拟-F-调和映射u:(M,g,e-φ(x)dvg)→(N,h)一定是一个常值映射.

(a)RicM≤-b2且b≥2adF;

(24)

(25)

另一方面,

(26)

在条件下(a),由引理2、式(16)和式(26)可得

(27)

在条件下(b),由引理3、式(16)和式(26)可得

2adFrcoth(ar)]≥0.

(28)

假设u不是常值映射,取充分大的正数R0和充分小的正数r0,使得

(29)

其中C是一个常数.由式(16)、式(27)、式(28)和式(29)可得

(30)

其中δ是仅依赖于r0的一个正实数.当R≥R0时,由式(25)、式(28)和式(30)可得

(31)

因此有

这与假设u矛盾.因此定理得证.证毕.

假设存在两个常数C0>0,μ>0使得

(32)

(33)

定理3 设u:(M,g,e-φ(x)dvg)→(N,h)是具有势函数的弱拟-F-调和映射.如果M满足式(32),C0-μ>0,H≤0(或H|u(M)≤0)且EF,φ,H(u)<+,那么u是一个常值映射.

(34)

(35)

由EF,φ,H(u)<+可得

(36)

由式(35)和式(36)可得

(37)

因此定理得证.证毕.

证明由定理3的方法可证定理结论成立.证毕.

由文献[10,11]及其中的相关文献可得下面引理5.

引理5[10,11]设(Mm,g)是具有一个极点x0的完备黎曼流形,Kr表示M的径向曲率.

(i)如果-α2≤Kr≤-β2,α≥β>0,那么

βcoth(βr)[g-dr⊗dr]≤Hess(r)≤

αcoth(αr)[g-dr⊗dr].

(ii)如果

和0≤B<2ε,那么

(iii)如果

和c2≥0,那么

引理6 设(Mm,g)是具有一个极点x0的完备黎曼流形,Kr表示M的径向曲率.

(i)如果-α2≤Kr≤-β2,α≥β>0和(m-1)β-2α≥0,那么

[(m-1)λmin+2-2dFmax{2,λmax}]≥

(ii)如果

和0≤B<2ε,那么

[(m-1)λmin+2-2dFmax{2,λmax}]≥

(iii)如果

和c2≥0,那么

[(m-1)λmin+2-2dFmax{2,λmax}]≥

证明由引理5,若Kr满足(i),则在B(r)x0上,对任意r>0,有

[(m-1)λmin+2-2dFmax{2,λmax}]≥

(m-1)2βrcoth(βr)+2-2dF×2αrcoth(αr)≥

同理利用与引理5相似的方法,在B(r)中上述不等式在条件(ii)和条件(iii)下仍然成立.证毕.

定理5 设(M,g)是具有一个极点x0的m维完备流形,假设M的曲率半径Kr满足下列三个条件之一:

(i)如果-α2≤Kr≤-β2,α≥β>0和(m-1)β-2dFα≥0.

(ii)如果

ε>0,A≥0,0≤B<2ε和

(iii)如果

c2≥0和

若u:(M,g,e-φ(x)dvg)→(N,h)是具有势函数H的一个弱拟-F-调和映射,Λ-μ>0,H≤0(或H|u(M)≤0)且EF,φ,H(u)<+,则u是一个常值映射,其中

Λ=

(38)

证明由定理3的证明和引理5可知此定理结论成立.证毕.

那么u是一个常值映射.

证明由定理4和引理5可知此定理结论成立.证毕.

4 结语

本文引入具有势函数的(弱)拟-F-调和映射的概念,在H和Bakry-Émery Ricci张量的条件下,利用应力-能量张量证明了(弱)拟-F-调和映射的一些单调公式及刘维尔型定理.