李奕琳

（广东省汕头市第一中学，广东 汕头）

导数是微积分的基础概念，当一个函数存在导数时，称这个函数可以求导或者可以微分.学生对于导数的熟练使用可以有效解决函数类有关习题，特别是包含解曲线方程式一类的习题，导数的应用会起到明显作用.因此学生如果将导数的知识点熟练掌握，对于解答高中后期的习题将起到事半功倍的效果.

一、应用导数解决切线问题

近年来，导数的几何意义经常与解析几何联系起来，考察学生的综合能力，经常出现在选择题及大题第一问上.导数的几何意义即函数y=f（x）在某一点M（x0，y0）一处的导数f′（x0），就是过这一点M的切线的斜率，导数的几何意义经常体现在求切线的斜率问题上.函数在数学试卷中占比相对较大，利用导数解决相关问题，可以使习题简化，容易得出答案.

二、应用导数解决函数性质问题

高中函数经常需要研究函数性质，其中包括函数的定义域、单调性、最值、奇偶性等等.画图像也是解决函数问题最直观的方法，但是随着高中函数学习的逐渐深入，很多复杂函数的图像不能很容易地被画出来，这个时候画图象的方法就不适用了.当导数引入进函数解题中，可以发现函数的单调区间、最值等可以被简单的计算出来.导数被广泛应用与函数习题中，应用导数可以很快速地求得函数的极大值与极小值，可以画出一个函数图象，得出函数的单调区间，学习这些知识时学生需要掌握的基础知识，也是考试的重点内容.

例如：已知函数f（x）=6x2+8x+4，求单调区间以及最小值.这道题是最基础的求函数极值和单调区间的问题，利用导数解题如下：

解：可得f′（x）=12x+8，

在这道题中可以看出来，利用导数解决这类问题可以更加方便的得出答案，如果使用其他方法，这道题的解题步骤就会变得复杂繁琐，容易出错，还不能很好地看出单调性.利用导数解这种类型的问题有比较明显的解题步骤，首先求出这个函数的导数，使这个导数等于零，求得函数的极值.然后令导数小于零，得出函数递减区间，令导数大于零，得到函数递增区间[1].

三、应用导数解决不等式问题

在不等式类习题中，同样需要应用到函数特性，利用导数可以得出函数的性质，从而解答不等式问题.更多的时候需要构造一个函数，引入导数方法，借助函数特性，求得极值，从而解决不等式问题.

设F（x）=g（x）-f（x），x∈（1，+∞）

因x∈（1，+∞），得F′（x）＞0

而f（1）＜g（1），

所以在此区间上F（x）单调递增，所以f（x）＜g（x）.

这道题是函数的证明题，使用导数解答能够将不容易证明的不等式习题变得简单易懂，能够有效地解决不等式问题.传统的不等式问题需要运用到分析法、综合法、比较法等多种手法，这些手法远不如使用导数解答简单方便.要想使用导数解答不等式，需要根据题目构建函数，将不等式类证明题目转化为函数最值和单调区间的问题上去，将问题简单化进行解答.

四、应用导数解决实际问题

当前，数学知识的应用价值被充分发掘，其中，导数知识不仅可以用于解决数学领域相关切线方程、不等式等问题，还能对一些实际应用问题进行有效解决，产生巨大的社会价值.运用导数探究利润最大、效率最高、费用最省等问题，往往能够获得最佳的可行方案.

例如：某生产企业设计生产一个容器，容器为对称结构，中间为圆柱形、圆柱两端分别为两个半球形（圆柱的高为l，半球结构的截面半径为r，且l≥2r），要求容器的容积为（80/3）π立方米.不考虑容器厚度，该容器的生产费用仅与其表面积有关，已知容器圆柱部分的生产费用为3千元/平方米，而半球结构的生产费用为 x 千元/平方米（x＞3）.求：该容器的生产费用 y最小时，r的值.

应用导数求解这一问题，首先要利用已知条件得出y与r的函数表达式，并确定该函数的定义域；对函数求导后，明确函数的变化规律，即在不同定义域的单调性，最终即可得到最佳设计方案[2].

综上所述，探究导数在高中数学解题中的应用，对培养学生的解题能力具有重要意义.通过相关实例分析，能够明确导数在各类题目当中的应用思路，从而便于学生掌握相关导数知识中蕴含的丰富的数学思想，帮助学生养成良好的解题习惯，综合提升学生解决各类数学问题时的效率与正确率.