张小春

(江苏省海安高级中学 226600)

1 情景再现

在一节校内公开课(高一新授课)上，在学习了DNA复制，并绘制DNA半保留复制相关的示意图(图1)的基础上，教师提出问题： 假设某DNA分子含有腺嘌呤脱氧核苷酸m个，则理论上该DNA分子复制n次和第n次复制消耗腺嘌呤脱氧核苷酸的数目分别是多少？

部分学生的答案是： 根据DNA半保留复制的原理，采用不完全归纳法，该DNA分子经n次复制后共产生2n个子代DNA分子，但是有两条15N标记的脱氧核苷酸模板链没有消耗脱氧核苷酸原料，实际消耗原料的DNA分子数目是2n-1，因此复制n次实际消耗的腺嘌呤脱氧核苷酸数目为(2n-1)·m。而第n次DNA复制是在第n-1次基础上进行的，因此第n次DNA复制消耗的腺嘌呤脱氧核苷酸数目为[m(2n-1)-m(2n-1-1)]=2n-1·m。但大部分学生对此解法好像还不太理解。

突然有一位学生举手要求发言，他认为DNA复制n次消耗原料的计算可以用最近数学课上刚学的等比数列的求和公式解决。解题思路是： 根据DNA半保留复制的原理，这里的公比q是2，a1=m，a2=2m，a3=4m，an=2n-1m，则复制n次消耗的腺嘌呤脱氧核苷酸数目为Sn=m(1-2n)/(1-2)=(2n-1)m。

2 思路分析

笔者将该学生的方法整理后，过程如图2所示。

图2 复制n次产生的DNA数和第n次复制增加的DNA分子数

在一个等比数列中，a1为首项，q为等比数列的公比，则a2=a1·q，a3=a2·q=a1·q2，an=a1·qn-1，则Sn=a1(1-qn)/(1-q)。由图2分析可知，n次复制产生的新DNA分子数目正好构成的是一个等比数列，这里的a1=1，公比q=2，一共n项，每个DNA分子需要消耗腺嘌呤脱氧核苷酸m个，故第n次消耗的腺嘌呤脱氧核苷酸数目为2n-1·m，而复制n次消耗的腺嘌呤脱氧核苷酸数目则为上述n项的求和： Sn=a1m(1-qn)/(1-q)=(1-2n)m/(1-2)=(2n-1)m。……