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(安徽大学 数学科学学院, 安徽 合肥 230601)

0 引 言

考虑如下的一类非自治半线性发展方程：

(1)

诸如方程(1)这类非自治半线性发展方程的温和解、反周期温和解的问题已经有深入的研究[1-5],主要研究方法有算子半群理论、不动点定理、拓扑度理论等相关理论相结合。而考虑方程(1)周期温和解的存在唯一性的结果较少。

为叙述方便，首先给出以下假设条件：

(H1) 对∀t≥s，存在T>0，有U(t+T,s+T)=U(t,s),即U(t,s)是T周期的。

(H2) 函数f:R×X0→X满足f(t+T,u(t+T))=f(t,u(t)),t∈R,u∈X0。

‖λQ(t)R(λ,A)‖}<。

(H4) 函数f:R×X0→X满足如下Lipschitz条件：

‖f(t,u)-f(t,v)‖≤L(t)‖u-v‖,

∀t∈R,u,v∈X0

1 预备知识

定义1 算子A:D(A)→X，若存在常数ω∈R,M≥0,有(ω,)⊂ρ(A)，且满足

sup{‖(λ-ω)nR(λ，A)n‖:λ>ω,n≥0}M,

其中ρ(A)为A的预解集合，则称A为空间X上的Hille-Yosida算子。

定义2 若存在投影P(t)一致有界且是强连续及常数M,ω>0,满足(a)-(c)成立，

(a)U(t,s)P(s)=P(t)U(t,s),∀t≥s。

(b)U(t,s):KerP(s)→KerP(t),t≥s≥0,是同构的，且是可逆的，

(UQ(t,s))-1=UQ(s,t),其中Q=I-P。

(c)‖U(t,s)P(s)‖Me-ω(t-s),

‖UQ(s，t)Q(t)‖Me-ω(t-s)

则称半群U(t，s) 为双曲半群(或满足指数二分性)。

定义3 若U(t,s)是双曲半群，则称如下的函数

为格林函数。

定义4 设函数f∈Cb(R,X)，若f(t+T)=f(t),∀t∈R成立，则称f(t)为T-周期函数，设PTA(R,X)表示所有T-周期函数组成的集合。

引理1 设(A,D(A))是Banach空间X上的Hille-Yosida算子，存在算子A0:D(A0)

令λ∈ρ(A)，在空间X0上引入范数‖x‖-1=‖R(λ,A0)x‖,x∈X0，则称空间(X0,‖·‖-1)为X0的外推空间，记为X-1。对∀t≥0,算子T0(t)都可以唯一延拓成X-1上的有界线性算子T-1(t)，且半群(T-1(t))t≥0是空间X-1上的C0半群，则称它为(T0(t))t≥0的外推半群，生成元A-1∈X0。更多关于Hille-Yosida算子半群、外推空间等相关知识可参考文献[6-9]。

引理2 如果令Σθ={λ∈C:|argλ|θ}∪{0}⊆且存在常数

κ0，实数列α1,α2,…αk,β1,β2,…βk，满足0βiαi2,i=1,2…k,使得：

‖A(t)(λ-A(t))-1(A(t)-1-A(s)-1)‖

若存在常数M≥0,满足‖(λ-A(t))-1‖θ,则算子A生成唯一的算子半群{U(t,s)t≥s:s∈R}

定义5 设U(t,s)t≥s≥0为(A+B(t))t≥0在X0上生成的双曲半群, 方程(1)的温和解定义如下：

u(t)=U(t,s)u(s)+

其中

2 主要结论

定理1 假设条件(H1)-(H3)成立，对∀t∈R，令

证明首先，有如下估计：

因此，Λu是有界的。

其次，对∀t,σ∈R,

因此，当σ→0，‖Λu(t+σ)-Λu(t)‖→0,故Λu是连续的。

最后，对∀t∈R,u∈PTA(R,X0),

因此,Λu是T周期的。

证明由……