王苑婷

【中图分类号】 G63.2 【文献标识码】 A 【文章编号】 2095-3089（2018）07-0-02

一、教材分析

直线的倾斜角和斜率是北师大版必修2第二章第一节的内容。直线的倾斜角和斜率是解析几何的入门课，突出解析几何的本质——几何问题代数化，初步体会借助平面直角坐标系用代数研究几何图形的思想，担负着开启全章的重任。

本节课涉及了两个概念——倾斜角和斜率。它们都是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的，倾斜角是从“形”的角度刻画直线的倾斜程度，而斜率是从“数”的角度刻画直线的倾斜程度。二者联系的桥梁是正切函数值，进一步可以用直线上两点的坐标表示直线的斜率。倾斜角是几何概念，它主要起过渡作用，是联系新旧知识的纽带，后续研究斜率、直线平行垂直都要用到这个概念；斜率不但是本节课的核心内容，更是整个解析几何的重要概念之一。

二、教学目标

1.知识与技能：（1）理解倾斜角和斜率的概念，掌握两点的斜率公式；

（2）理解每条直线的倾斜角唯一，但不是每条直线都有斜率。

2.过程与方法：通过经历从具体实例抽象出数学概念的过程，初步感悟用代方法解决几何问题的思想方法，渗透数形结合思想，培养学生观察、分析和概括的能力。

3.情感态度与价值观目标：体会几何问题代数化的思想方法，通过合作探索，互相交流，享受获取数学知识的喜悦。

三、教学重难点

重点：直线的倾斜角和斜率概念的理解，初步掌握过两点的直线斜率公式。

难点：直线的倾斜角概念的形成，斜率公式的建构。

四、教学方法

启发引导法、讲练结合。利用计算机等辅助教学，采用启发和探究-建构教学相结合的教学模式。

五、教学过程

（一）创设情境，揭示课题

从勉县到略阳的道路要走很多的上山路，道路用直线来表示，由道路的陡峭程度引入课题“直线的倾斜角和斜率”。

给出操场上的跷跷板图片。

设计意图：从生活中真实的例子出发，引起学生兴趣，同时也说明我们数学知识和生活联系紧密，来源于生活也应用于生活。这样的引入比较自然，贯穿我们这节课的整个知识。

问题1 如果把跷跷板抽象成一条直线，那么跷跷板的运动过程中就形成了一系列的直线。那么这些直线有什么共同点和不同点呢？

学生1 共同点是 都经过了中间的支撑点

学生2 不同点是 与地面的夹角不同

教师总结：（1）这些直线都经过一点；（2）这些直线的倾斜程度不同。

选择哪个量来描述直线的倾斜程度

设计意图：探索描述直线的倾斜程度的几何要素，由此引出倾斜角的概念。培养数学的直观想象和数学抽象能力。

（二）新知探究

1.倾斜角的定义

在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角.特别，当直线和x轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为0o.

问题2 那我们能不能简单的说直线的倾斜角即是直线与x轴正方向的夹角？

学生1 可以，表示的是一样的

学生2 不行，与x轴正方向的夹角有两个呢

教师肯定学生的正确答案并给予鼓励。

设计意图：让学生通过图形的观察，更进一步明确倾斜角的概念，更好的探究倾斜角的范围。

问题3 观察如下四个图中的直线，画出它们的倾斜角，指出直线倾斜角的范围？

学生1 倾斜角的范围是[0°，180°]

学生2 倾斜角的范围是[0°，180°）

教师强调倾斜角概念的中的规定，给出正确的范围。

设计意图：通过对图形的观察让学生明确倾斜角的取值范围是。

引入斜率的定义

再利用勉县到略阳的路回顾坡度的概念

问题4 对于勉县到略阳的路中所出面的斜坡的倾斜程度，不用直线的倾斜角来表示，在生活中可以用什么量来反映倾斜程度呢？

学生1 初中学的坡度与坡角

在水平方向上移动1km，在铅直方向上升或下降的数值（km）

教师肯定学生的回答，并以能不能用坡度来定义直线的倾斜程度来引入斜率的知识

设计意图：是让学生感受数学概念来源于生活，引導学生理解直线的倾斜程度除了用倾斜角表示外，还可以用倾斜角的正切值表示，体现了几何向代数的转化过程，并体验从直观到抽象的过程培养学生观察、归纳、联想的能力。

2.斜率

为了用实数来刻画倾斜角，我们把直线放在直角坐标系中

直线的斜率是什么呢，直线过坐标原点时，当横坐标x从0到1增加一个单位时，纵坐标y从0变化到k，k就称为这条直线的斜率。

（1）的直线的斜率

图中点，当横坐标x从0到1增加一个单位时，纵坐标y从0变化到k（k〉0），k为这直线的斜率，。

（2）的直线的斜率

图中直线上的点，当横坐标x从0到1增加一个单位时，纵坐标y从0变化到k（k<0），k为这直线的斜率.

问题5 在时，我们能不能也用倾斜角的正切值表示斜率呢？

学生1

学生2 不对，k是负值，应该是。

教师总结：在以后的学习中我们可以知道当是钝角时，依然成立。

设计意图，通过学生自主探究，理解到时，也可以满足，在探究中加强了学生的数学运算能力。

问题6 那的直线呢，是不是也可以写成呢？

学生 不能吧，不存在呀

设计意图：的值在初中时大家已经知道是不能运算的，在这里提出来也是对旧知识的一个回顾，也是对倾斜角是直角的直线的斜率判断。

（3）的直线的斜率

直线与x轴垂直，无斜率。

问题7 通过以上分析，大家总结一下，直线的斜率和倾斜角之间存在什么样的关系？

学生1

学生2 当直线倾斜角不是直角时，

学生3 当直线倾斜角是直角时，此直线没有斜率。。

所以倾斜角不是90o的直线，它的倾斜角的正切就是这条直线的斜率.即斜率

设计意图：强化学生对倾斜角是直角时的直线斜率不存在这种特殊情况的理解。培养学生归纳总结能力。

问题8 我们刚才所说的直线都是过坐标原点的直线，那對不过坐标原点的直线，是否也适用？

学生 适用，可以平移到过坐标原点，它们的倾斜角是一样的，那斜率也就是一样的。

教师追问：

问题9 那倾斜角是900的直线呢？能说斜率相等吗？

学生1 能，都是。

学生2 不能，这样的直线叫做没有斜率。

设计意图：让学生明确倾斜角相等的直线，它们的斜率是相等的，同时再次强调倾斜角是900的直线没有斜率。

问题10 通过斜率的定义，大家能不能得出，直线的倾斜角与其斜率的正负之间存在怎样的规律呢？

学生1 倾斜角是锐角时斜率为正，是钝角时斜率为负。

学生2 还有0°和90°，0°时为0，90°没有斜率不能说正负。

教师总结：当倾斜角是0°时斜率为0，锐角时斜率为正，是钝角时斜率为负。90°没有斜率。教师继续追问：

问题11 在上述两个图中做出斜率不同的几条直线，观察当在[0°，180°）内变化时，斜率k随道倾斜角的增大是如何变化的？

学生1 随道倾斜角的增大而增大

学生2 倾斜角是直角时斜率不存在，所以锐角时增大，钝角时减小。

学生3 倾斜角是直角时斜率不存在，，斜率是负的，时，斜率是正的，都是随着倾斜角的增大而增大。

设计意图：在分析过程中锻炼学生的逻辑推理数学素养，和周密的思维习惯，培养学生观察、分析和概括的能力。

3.两点间斜率的计算公式

问题12 如果给的角度是我们学习过的特殊的能求出正切值的角度，我们可以用通过求解，如果角度并不是能计算的特殊角呢？我们已经知道两点就能确定一条直线，那能不能在直线上找两个点，利用它们的坐标去求解其斜率呢？给大家三分钟的时间分小组讨论一下，看看怎么解决？

学生 利用相似三角形可以得到

教师追问

问题13 这个式子有没有约束条件呢？

学生1 分母不能为0

学生2

设计意图：学生自主探究的过程，是自己获取知识的过程，锻炼了学生的自学能力，培养了学生逻辑推理能力。在知识上也更加明确两点间斜率公式与倾斜角与所取的两点无关。

教师总结：两点间的斜率公式是，强调括号里的内容。

（三）知识巩固及课堂练习

例1 已知直线的倾斜角30°，求直线的斜率

如果换成45°，0°呢？

例2 直线PQ过点P（2，3），Q（6，5）求这条直线的斜率

如果换成过点A（-3，5），B（4，-2）呢？

（四）课堂小结

概括提炼（同学们这节课有何收获？）

1.明确了确定直线位置的几何要素。

2.理解了刻画倾斜程度的量（几何：倾斜角和代数：斜率），知道了求斜率的两种方法（定义法、坐标法）。

3.经历了代数方法刻画斜率的过程，体会到解析几何就是用代数的方法来解决几何问题。感受了数形结合与分类讨论的数学思想。

（五）作业布置 P78A组1.2.3

六、教学反思

这节课我们要让进一步培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养，让学生在学习中潜移默化的提高自己观察分析、归纳总结、运算等能力。

通过本节课的学习，学生能很好地理解直线的倾斜角和斜率的概念.直线是几何图形，方程是代数关系式，学生能够清楚倾斜角和斜率是分别从几何与代数两个不同的角度来刻画直线的倾斜程度，从而理解解析几何中将几何问题转化代数问题进行研究的数学思想。学生知识的获取中，通过我所设计的13个问题积极主动的思考探索，引导学生的思考步步深入，加深概念理解。让学生逐步体会将几何问题代数化，用代数方法来研究几何问题的思想方法。

这节课是我们解析几何的开始，所以学生对几何问题代数化的思想并不是理解太深刻。这就要求在设计问题时层层深入，引导学生有信心的去学习每一个知识。