云南

蒋金团

几何光学一直是高考中的重点和难点，学生往往在几何关系上束手无策，此时可借助费马原理寻找思路。费马原理是几何光学中的一条重要原理，由此原理可证明光在均匀介质中传播时遵从的直线传播定律、反射和折射定律，以及傍轴条件下透镜的等光程性等。光的可逆性原理是几何光学中的一条普遍原理，该原理为，若光线在介质中沿某一路径传播，当光线沿反向传播时，必沿同一路径逆向传播。费马原理规定了光线传播的唯一可实现的路径，不论光线正向传播还是逆向传播，必沿同一路径。因而借助于费马原理可说明光的可逆性原理的正确性。光在任意介质中从一点传播到另一点时，沿所需时间最短的路径传播。正因为费马原理指定了光的传播路径是唯一的，很多光学题暗藏的各种技巧在费马原理照射之下都是无所遁形的。

【例1】(2011年·全国卷第34题)一半圆柱形透明物体横截面如图1所示，底面AOB镀银，O表示半圆截面的圆心，一束光线在横截面内从M点入射，经过AB面反射后从N点射出。已知光线在M点的入射角为30°，∠MOA=60°，∠NOB=30°。求：

图1

(1)光线在M点的折射角；

(2)透明物体的折射率。

【官方解答】(1)如图2所示，透明物体内部的光路为折线MPN，Q、M点相对于底面EF对称，Q、P和N三点共线。设在M点处，光的入射角为i，折射角为γ，∠OMQ=α,∠PNF=β,根据题意有α=30° ①

由几何关系得，∠PNO=∠PMO=γ

于是β+γ=60° ②

且α+γ=β③

由①②③式得γ=15° ④。

图2

(2)根据折射率公式有sini=nsinγ⑤

这道题的最大特点是浅入深出，考生画出半圆内部的光路图之后再写出折射定律相关表达式，这是难度不大的事，所以得零分很不容易，但是要想快速求出M点处的折射角并非易事，命题者将半圆补成圆，把反射光线反向延长与圆相交，作出入射点的镜像点，巧妙利用入射光线和反射光线的对称性以及圆的对称性来寻找几何关系，这种灵活性的设计对只有中等思维品质的学生确实是一个大的挑战，甚至是无从下手。当年的统计结果表明这道题的难度系数是0.17，难度确实不小。既然大多数考生对对称性的运用不顺手，那么有更实用的方法突破这个关卡吗？有，它就是费马原理。由题意知，光线从M点经反射到N点时，入射点和出射点的坐标是确定的，根据费马原理，光沿最短路径传播，路径也是确定的，这说明光线打在底部上的点是确定的，只要用入射光线和反射光线斜率的大小相等确定出该点的坐标，所有的问题都迎刃而解。

由两点间的距离公式得

在△MOP中，由余弦定理得

xP2=R2+MP2-2RMPcosγ③

图3

(2)第二问同官方解答。

图4

【例2】(2017年·全国卷Ⅱ第34题)一直桶状容器的高为2L，底面是边长为L的正方形；容器内装满某种透明液体，过容器中心轴DD′、垂直于左右两侧面的剖面图如图4所示。容器右侧内壁涂有反光材料，其他内壁涂有吸光材料。在剖面的左下角处有一点光源，已知由液体上表面的D点射出的两束光线相互垂直，求该液体的折射率。

【官方解答】设从光源发出直射到D点的光线的入射角为i1，折射角为r1，在剖面内作光源相对于反光壁的镜像对称点C，连接CD，交反光壁于E点，由光源射向E点的光线，反射后沿ED射向D点；光线在D点的入射角为i2，折射角为r2，如图5所示。

图5

设液体的折射率为n，由折射定律得

nsini1=sinr1①，nsini2=sinr2②

根据题意r1+r2=90° ③

联立④⑤⑥解得n=1.55。

这道题与例1如出一辙，官方的解答都是先作出反射光线的反向延长线之后得到一个镜像点，再利用对称性寻找几何关系。似乎是历史重演，笔者和考生交流时，很多考生依然想不到这条重要反向延长线，太过灵活的方法未必适合所有学生，接下来，笔者仍选择费马原理作为避开对称性的突破口。

【笔者解答】如图6所示，以底部的O点为坐标原点建立直角坐标系，由已知条件可得

图6

设液体的折射率为n，由折射定律得

nsini1=sinr1③，nsini2=sinr2=cosr1④