（白山市第二中学 吉林长春 134300）

引言

测量弹簧的劲度系数有不同的实验方法，例如用集成霍尔传感器、新型焦利称、气轨上的简谐振动等测定弹簧的劲度系数，但是把这些整合在一起作比较的内容很少，笔者力图通过以测量弹簧的劲度系数为例，在胡克定律原理与测量振动周期两种不同的实验方法下用逐差法、线性拟合法、最小二乘法三种不同的数据处理方法，做横向与纵向的比较分析，研究在不同的实验方法下用不同的数据处理方法所得到的误差何时可以最小。[1]

一、实验测量方法及实验数据处理方法原理

1. 实验测量方法

（1）胡克定律法原理

胡克定律原理：弹簧在发生形变时，弹簧的弹力F和弹簧的形变量（伸长量或压缩量）△x成正比，即F=-k·△x。其中k是劲度（倔强）系数。在此实验中，通过测量施加给弹簧的负载重量，以及相应的形变量，在多次实验下测量弹簧的劲度系数。[2]

因F=kx，F=mg其中m为砝码的质量，g为重力加速度。

方法：在铁架台上挂一空弹簧，利用“三线对齐”（即反光镜A上的水平刻线、玻璃管B的水平刻线和玻璃管水平刻线在反光镜C中的像重合）的方式记录此时的刻度x，然后每次增加一个砝码，记录一次它的刻度值。每次增加的砝码的质量是一样的，测量六次。

实验中使用的砝码和弹簧情况如下：砝码：共5只，空托盘的编号记为1，其余五次编号为2、3、4、5、6。

质量分别为0、40g、60g、80g、100g、120g。

（2）约利称法原理

以30个振动周期用秒表计时，测出每个周期的时间，用电子天平测出空托盘的质量。

实验中使用的砝码和弹簧情况如下:

砝码：

共5只，空托盘的编号记为1，其余五次编号为2、3、4、5、6。质量分别为：

20.37 g、40.37g、60.37g、80.37g、100.37g、120.37g

2. 实验数据处理方法

（1）逐差法原理

由于随机误差具有抵偿性，多次测量求平值可以减少这种误差，但是，当自变量与因变量成线性关系时，对于自变量等间距变化的多次测量，会使中间测量的数据由于两两抵消，而失去求平均值的意义。为了弥补这种缺憾，可以将测量得到的数据按自变量的大小顺序排列后平分为前后两组，先求出两组中对应项的差值，后取平均。[3]

设已知x，y 为线性关系: y= bx+a，其中a，b 为待定常数，测量n组x、y的值，取偶数或将组数据分成两半，分别求

（2）线性拟合法原理

线性拟合法应用的原理是利用计算机中的线性回归处理离散点，与人工作图的图解法原理相同，测出的n组数据，参照数据点绘一条拟合直线。使直线尽量的接近数据点；分散在直线两侧数据点的数目要相近，两侧各点距直线的距离之和也近似相近，这样做的依据是误差的抵偿性。[4]

（3）最小二乘法原理

一般直线y=a+bx的最小二乘法拟合，判据是使yi的残差平方和RSS（residual sum of square）极小，即各测量点到拟合直线距离平方和最小。从和可以导出a、b的最小二乘估计值为

又相关系数r的估计值为

相关系数r表示各数据点靠近拟合直线的程度。r值在-1到+1之间，越接近1，各数据点就越接近拟合直线。

以上过程讨论的要求是：

二、实验数据及处理

1.胡克定律实验方法下的实验数据处理

n 1 2 3 4 5 6 m/g 0 20 40 60 80 100 F/N 0 0.196 0.392 0.588 0.784 0.98 x/cm 7 9.46 11.95 14.43 16.89 19.36△x/m 0 0.0246 0.0495 0.0743 0.0989 0.1236

（1）逐差法处理数据

图书的形态从长形式演变成长形式与网形式的结合，使传统的长形式图书在保持自身特有优势的基础上又兼具了网形式的功能，延伸了图书的产业链，图书的商业价值与阅读价值均得到了较好体现。

编号∑∆xi∑∆Fi /61∑∆xi 6 F/6 1∑i 6 1—3 0.0741 0.588 0.2227 1.764 3—6 0.2968 2.352

胡克定律表达式a=7.8401 b=0.00535

由y=bx+a

F=7.8401∆x+0.00535

测得弹簧的劲度系数k=7.8401N/m

（2）线性拟合法处理数据

编号 形变量△x/m 弹簧弹力F/N 1 0 0截距 0.000152 2 0.0246 0.196 斜率 7.924199 3 0.0495 0.392 测定系数 0.999 4 0.0743 0.588 标准误差 0.000 5 0.0989 0.784 6 0.1236 0.98 997 717

测的弹簧的劲度系数为k=7.9242N/m

（3）最小二乘法处理数据

测的弹簧的劲度系数为k=7.9224N/m

2.约利称实验方法下的实验数据处理

n x=m/kg x=m/g 30T/s T/s y=T*T 1 2 1 0.02037 20.37 12.08 11.96 0.3987 0.159 2 0.04037 40.37 15.22 14.91 0.497 0.247 3 0.06037 60.37 17.88 17.87 0.596 0.3552 4 0.08037 80.37 20.31 20.18 0.675 0.4556 5 0.10037 100.37 22.25 22.18 0.7407 0.5486 6 0.12037 120.37 24.25 24.37 0.8103 0.6566

编号∑m 2 2 i∑Ti m/6 1∑i 6∑6 1 T/i 6 1—3 0.1211 0.7612 0.18 0.8996 3—6 0.3011 1.6608

弹簧劲度系数k=7.8992N/m

（2）线性拟合法处理数据

编号 质量m/kg 周期的平方T*T 1 0.02037 0.159 截距 0.0525 2 0.04037 0.247 斜率 4.990286 3 0.06037 0.3552 测定系数 0.999355 4 0.08037 0.4556 标准误差 0.005305 5 0.10037 0.5486 6 0.12037 0.6566

弹簧劲度系数k=7.9110N/m

（3）最小二乘法处理数据

弹簧劲度系数k=7.9110N/m

三、计算结果的比较分析

1.相同方法测量实验中，不同数据处理方法所得结果的比较分析

（1）胡克定律法：用逐差法，线性拟合法，最小二乘法所得结果分析

（2）约利称法：用逐差法，线性拟合法，最小二乘法所得结果分析

2.不同方法测量实验中，相同数据处理方法所得结果的比较分析

（1）线性拟合法：胡克定律法与约利称法所得结果的比较分析胡克定律和约利称方法测量下的到的相关系数分别是：

标准偏差分别是：

（2）最小二乘法：胡克定律法与约利称法所得结果的比较分析

胡克定律方法测量下得到的相关系数分别是：

y和k的标准偏差分别是：

结语

1.在胡克定律法测量实验中，线性拟合法是误差最小，测量结果最接近真实值的；逐差法的误差是相对线性拟合法和最小二乘法误差较大的一种处理数据的方法。在逐差法中，根据结果分析，约利称法比利用胡克定律原理测量得到的值更准确。在手写计算时，逐差法是相对简单、快速的方法，但在有计算机处理数据的时代，它的优点就没有那么突出.

2.在约利称的实验方法下，最小二乘法比线性拟合法更接近真实值，但相关系数相差不大。

3.在1和2结论的基础上，并不能说明线性拟合法和最小二乘法哪一种方法更好，还要考虑到实验用的具体测量方法，因此在选择测量方法时，要根据具体的实验原理，选择合适的数据处理方法，才能尽可能让误差最小。在本次研究中，在胡克定律的原理下用线性拟合法误差较小，在约利称法的实验中，用最小二乘法误差较小。

4.从横向进行比较，即在相同的数据处理方法下，利用胡克定律原理下线性拟合的处理方法最为准确。胡克定律法比约利称法更接近真实值。

原因分析：约利称法测量过程中，误差相对较大。误差主要体现在秒表测周期时的读数误差、弹簧初始位置的不一致以及弹簧作简谐振动时与镜面的摩擦、负载较大时上下振动时略偏离竖直方向等造成的。而在利用胡克定律的实验中，读数时弹簧是静止的，干扰因素较少，因此相比较而言，误差较小，劲度系数更接近真实值。

5.综上，最接近弹簧劲度系数的真实值的是k=7.9242N/m.

附录