杨红红, 秦新强(西安理工大学 理学院, 陕西 西安 710054)

对流扩散方程在工程、物理与应用科学等分支中具有重要的地位。用于描述多孔介质中多层流体的流动、油藏模拟问题、沿海盐度扩散及温度扩散等实际问题。对流占优时,方程的解在边界附近呈现出薄的过渡层[1],采用经典的有限差分法和有限元法求解会产生数值震荡。

近年来,对于奇异扰动的对流扩散问题[2],Kadalbajoo等[3]提出了在时间方向采用隐式Euler离散,空间方向采用B样条配方法离散的数值方法。Clavero等[4]提出了基于隐式Euler对时间离散和Shishkin网格上有限差分进行空间离散的方法。Rashidinia等[5]提出时间方向采用差分离散,空间方向采用Sinc-Galerkin离散的方法。此外,最常见的数值方法还有特征差分法[6]和特征有限元等。上述方法在一定程度上减弱了方程对流占优时引起的数值震荡,但算法精度不够高。

本文采用定制有限点方法(TFPM)数值求解对流占优问题,该方法能有效消除数值伪振荡,且算法精度高。

TFPM基于局部基函数“量身”构建,最早由Han等[7]提出,用于数值求解Hemker问题。随后,Huang等[8]将TFPM用于求解抛物型问题,Tsai等[9]采用TFPM数值求解Burger方程。

本文第一部分将TFPM与有限差分有效结合,构造了一种新的高精度算法,用于求解对流占优扩散方程。第二部分将对流占优扩散反应方程进行指数变换,对变换后的方程整体采用三角基函数构造TFPM算法格式。第三部分给出了不同离散格式的稳定性条件。最后,用数值算例验证了本文算法的高效性。

1 对流占优扩散方程的TFPM

考虑如下对流占优扩散反应方程: