杨延涛

(延安大学 数学与计算机科学学院， 陕西 延安 716000)

单调算子的概念最早可追溯到对凸函数极值问题的研究.设Rn为n维欧式空间,f:Rn→R为正则的凸函数,f在x∈Rn处的次微分∂f(x)定义为

∂f(x)= {x*∈Rn:f(y)-f(x)≥〈y-x,x*〉,

∀y∈Rn}.

单调算子的概念与优化、变分不等式及均衡问题都密切相关,在非线性椭圆型、抛物型偏微分方程边值问题以及Hammerstein型非线性积分方程的可解研究中有广泛应用.

自从BROWDER等于20世纪60年代初引入单调算子的概念以来,经过50多年的发展,单调算子理论已相当成熟,成果颇丰. 1974年5月,美国数学会前主席BROWDER在美国数学会举办的“希尔伯特问题的数学结果”专题讨论会上提出了下述问题(OP)[1]:

设X是自反Banach空间,A:X→X*是连续、强制单调有界算子,A-1单值且有连续模,问: 是否能对方程Ax=0解的存在性给出一个构造性证明？此问题激发了国内外数学家的浓厚兴趣，并开展了广泛而深入的研究.

本文的目的是改进CHIDUME等[7]的广义最速下降法.使用新的分析技巧，以证明改进后的广义最速下降法依范数收敛于方程Ax=0的唯一解.

1 预备知识

设E是赋范空间,E*为E的对偶空间.定义映射J:E→2E*为

Jx={x*∈E*: 〈x,x*〉=‖x‖·‖x*‖,‖x‖=‖x*‖},

则称J为E上的正规对偶映像.

注1一般来说,J是一个多值映射.若E是光滑的,则J是单值的.

设E是光滑的实Banach空间,E*为其对偶空间.定义二元函数φ:E×E→R为

φ(x,y)=‖x‖2-2〈x,Jy〉+‖y‖2,x,y∈E，(1)

由式(1)及Cauchy-Schwarz不等式知

(‖x‖-‖y‖)2≤φ(x,y)≤

(‖x‖+‖y‖)2,x,y∈E，

(2)

由式(1)及正规对偶映像的定义可得

φ(x,y)=‖x‖2-‖y‖2-2〈x-y,Jy〉,x,y∈E.(3)

引理1设E为光滑的实Banach空间,{xn}与{yn}为E中的2个序列,其中之一为有界的.若xn-yn→0(n→),则φ(xn,yn)→0(n→).

证明不失一般性,假设{xn}是有界的,即存在正常数M,满足

‖xn‖≤M, ∀n≥1，

由于xn-yn→0(n→),故{xn-yn}也是有界的,即存在另一……