汪海航，蒋红标

(1. 浙江理工大学 理学院， 浙江 杭州 310018； 2. 丽水学院 工学院， 浙江 丽水 323000)

0 引 言

(1)

其中初值满足

(2)

且p=pc(n),pc(n)为二次代数方程:

的正根，即

该问题为以下半线性波动方程小初值Cauchy问题(Strauss猜测)的拓展：

(3)

其中，n≥2,ε>0为小参数．已知结果表明，问题(3)存在一个临界指数p0(n),为下述二次方程的正根：

临界指标是指正实数p0(n)将(1,+)分成(1,p0(n)]和(p0(n),+)2个区间．当p∈(1,p0(n)]时，问题(3)不存在整体解；当p∈(p0(n),+)时，问题(3)对小初值有整体解．

此后，一些学者研究了问题(3)在外区域上的初边值问题，得到次临界情形、临界情形的若干破裂结果、生命跨度估计及超临界情形的整体存在性结果，相关进展可参考文献[15-20]．

最近，李卓然[21]研究了带次临界指标(1

本文主要研究带临界指标p=pc(n)的Cauchy问题(1)，证明了解将会在有限时间内破裂，主要结果如下：

定理1设n≥5,且初值f与g满足式(2)．假设问题(1)有解

(u,ut)∈C([0,T),H1(Rn)×L2(Rn)),

使得

supp (u,ut)⊂{(x,t): |x|≤t+R}.

文中，记号C表示常数，在不同的地方可表示不同的值．

1 预备知识

为证明本文的主要结论，需要应用以下引理：

引理1[9]设p>1,a≥1,且(p-1)a=q-2．t≥T0>0,若F∈C2([0,T))满足

F(t)≥K0(t+R)a,

(4)

且

F″(t)≥K1(t+R)-q[F(t)]p,

(5)

其中K0,K1,T0和R是正常数．当固定K1,存在C0>0且C0不依赖于T0和R,使得K0≥C0,则T<,即F(t)在有限时间内破裂．

为了叙述引理2，参照文献[9]引入试验函数：

(6)

且定义函数

ψ1(x,t)=φ1(x)e-t.

(7)

现引入2个泛函：

(8)

其中ψ1(x,t)为由式(7)定义的函数,u为问题(1)的解．u所满足的假设条件蕴含了F0(t)与F1(t)关于t连续可微．

(9)

引理3[21]设p>1，则

(10)

2 定理的证明

为了得到临界情形的破裂结果，采用文献[9]的方法建立一个关于非线性项的改进的下界估计．不失一般性,假设u(·,t)为径向函数．否则可定义

由达布公式可知：

其中,ω∈Rn为单位向量[22]．引入u关于空间变量的Radon变换：

(11)

其中,dSx……