基于谱表示与AR模型的风场模拟对比分析

2018-07-11刘瑞莉徐公勇宋淳宸邱顺冬

四川建筑 2018年3期

刘瑞莉，徐公勇，宋淳宸，邱顺冬

(1. 西南交通大学，四川成都 610031； 2. 成都兴城人居地产投资集团有限公司，四川成都 610031； 3.建研科技股份有限公司，北京 100000)

随着计算机技术的快速发展，蒙特卡洛模拟在工程实际上得到越来越广泛的应用。与频域方法相比，蒙特卡洛模拟方法在考虑结构非线性、系统随机性以及其它相关问题等方面具有明显的优势。例如，其被广泛应用于考虑结构和气动力非线性的大跨桥梁抖振响应分析[1]。此外，蒙特卡洛模拟方法也常被用作检验频域方法计算精度的标准。

目前，蒙特卡洛模拟方法主要有谱表示方法和线性滤波法。谱表示方法由于具有严密的理论推导以及容易使用等特点而得到广泛的应用，而快速傅里叶变换(FFT)算法的引入使得该类方法的模拟效率得到显著提高[2-4]。最初，多点平稳随机过程的谱表示方法为单指标方法，模拟出的样本不具备各态历经性[5]。随后，Deodatis[6]将其拓展到了多指标的谱表示方法，以实现各态历经性的要求。为了进一步提高模拟效率，研究者从减少功率谱矩阵分解时间方面提出了多种改进的谱表示方法[7-9]。近期，Peng等[10]提出了一种基于随机场的风场模拟方法，该方法不仅可避免功率谱矩阵分解，同时可利用二维FFT极大提高模拟效率。

线性滤波法又称白噪声滤波法，即将均值为零的高斯白噪声通过设计的滤波器，从而获得具有目标统计特性的随机过程。该类方法包含自回归(Autoregressive, AR)模型、移动平均 (Moving averages, MA)模型以及自回归和移动平均模型(Autoregressive and moving-average, ARMA)模型[11-13]。与ARMA模型相比，AR模型的参数相对较少，因此更加便于使用，其已被广泛应用于多点风速时程的模拟。Novak等[14]对基于AR模型的风速模拟误差进行了详细分析。舒新玲等[15]采用AR模型模拟了大跨屋盖的随机脉动风速时程，并提出VC与Matlab混合编程模拟的快速实现方法。李春祥等[16]基于AR模型模拟了一幢高度为200 m超高层建筑的风速时程，并验证了其可行性。李明等[17]基于西堠门大桥风场模拟的算例，对AR模型的定阶进行了讨论，并认为阶数过高与过低均将影响模拟精度，选择合适的模型阶数即可得到满意的精度又可节省计算时间。

基于上述研究基础，本文对谱表示方法与基于AR模型的风场模拟方法进行对比研究。首先，分别对谱表示方法和基于AR模型的模拟方法进行了介绍。随后，以某桥梁风场模拟为算例，对两种方法在模拟精度和效率方面进行了对比。最后，给出了相应的结论。

1　经典谱表示方法

考虑一个均值为零的n变量平稳随机过程X(t)=[X1(t),X2(t),...,Xn(t)]T，设其功率谱密度矩阵可表示如下：

(1)

式中：ω为频率；Sjk(ω),j,k=1, 2, …,n;j≠k为互功率谱密度函数，一般为复数；当j=k时，Sjj(ω)为自功率谱密度函数。功率谱矩阵元素具有如下性质：

Sjj(ω)=Sjj(-ω),j=1, 2,…,n

(2)

j,k=1, 2, …,n;j≠k

(3)

其中*表示复数共轭。由于功率谱矩阵S(ω)为非负定的Hermitian矩阵，因此其可进一步分解如下：

S(ω)=H(ω)HT*(ω)

(4)

式中：H(ω)为下三角矩阵，其元素Hjk(ω)可表示为如下的极坐标形式：

Hjk(ω)=|Hjk(ω)|eiθjk(ω)

(5)

(6)

式中：Im和Re分别表示复数的虚部和实部；上述多点随机过程被分解为n个完全不相干的子多点随机过程的叠加，且每个子过程的元素之间完全相干。因此，多点随机过程X(t)可采用下式模拟[6]：

j=1, 2,…,n

(7)

式中：Δω=ωu/N；ωu为截止频率；N为频率离散点数；ωml=(l-m/n)Δω,m=1, 2, ...,n；φml为在[0,2π]上服从均匀分布的随机相位角。值得说明，当ωml退化为ωl=lΔω时，上述经典的双指标模拟公式即退化为单指标模拟公式。

2　基于AR模型的模拟方法

设上节的n变量平稳随机过程X(t)可表示为如下的多点AR模型形式[9]：

(8)

式中p为模型阶数；Φr为n×n的自回归系数矩阵；L为n×n的系数矩阵；Y(t)=[Y1(t),Y2(t),...,Yn(t)]T是均值为0的高斯白噪声随机过程，且满足下式：

E[Y(t)YT(s)]=Inδ(s-t)

(9)

式中δ(·)为狄拉克δ函数；In为n×n的单位矩阵。

将式两边同乘于X(t-qΔt)，然后取数学期望可得：

q=1,2,…,p

(10)

式中RXX(-qΔt)=E[X(t)XT(t-qΔt)]。上式可进一步表示为如下的矩阵形式：

(11)

(12)

由式(11)，可求得不同时刻的自回归系数矩阵：

(13)

将式(8)两边同乘于YT(t)和XT(t)，并求期望后可分别得到：

RXY(0)=L

(14)

(15)

将式(14)代入式(15)，可得如下的表达式：

(16)

设L为下三角矩阵，其可以通过对等式右边部分进行Cholesky分解得到。在求得Φr和L矩阵后，则可以通过该AR模型进行多点风速随机过程的模拟。

3　数值算例

为了对比谱表示方法和基于AR模型的模拟方法在模拟精度和效率上的差异，对泰州长江大桥主梁上的顺风向脉动风速进行了模拟。该桥为连接泰州市和扬中市的三塔悬索桥，其跨径布置为390 m、1 080 m、1 080 m及390 m，如图1所示。设模拟点的间距为7.2 m，则共需要模拟301个点。

图1　泰州长江大桥示意

设主梁模拟点的自功率谱相等，且均用如下的双边Kaimal谱描述:

(17)

此外，采用如下的Davenport相干函数描述不同模拟点之间的相干性：

(18)

式中：λ=7为衰减系数；ξ表示两点之间的距离。

为了对比，谱表示方法考虑双指标和单指标两种工况，基于多点AR模型的模拟方法选取较为常用的4阶和6阶模型两种工况[16]。

3.1　模拟精度对比

在精度对比时，截止频率均取为4π。谱表示方法的频率离散点数为1 024，时间步长为0.25 s。在基于AR模型的模拟方法中，频率离散点数为2 048，时间步长为0.2 s。限于篇幅，本文仅给出基于4阶AR模型模拟方法得出的风速时程样本，如图2所示。可以看出，模拟点1与2之间的风速时程接近，而模拟点76则与前两者差别较大，其原因是模拟点76与点1之间的距离已超500 m，相关性较小。

图3给出了不同计算工况下模拟时程的估计功率谱与理论功率谱的对比。可以看出，双指标和单指标谱表示方法的模拟精度均高于AR模型的模拟精度。此外，双指标谱表示方法的精度高于单指标谱表示方法，4阶AR模型的模拟精度则高于6阶AR模型。图4给出了不同工况下的自/互相关函数对比图。可以看出，双指标谱表示方法的精度同样明显高于其它模拟方法。而单指标谱表示方法在相关函数的模拟精度上与基于AR模型的模拟方法差别不大。

3.2　模拟效率对比

在进行模拟效率对比时，所有工况的截止频率和频率离散点数均分别取为4π和1 024，模拟点数分别取32、64、128、256以及512五种工况。本算例的所有工况均在一台处理器为Intel (R) Core (TM) i7-7500U，主频为2.70GHz，内存为8G的笔记本电脑上进行，计算结果如表1所示。可以看出，当模拟点数为64时，基于4阶AR模型的模拟方法效率为单指标谱表示方法的2倍，而为双指标谱表示方法的80倍。因此，基于AR模型的模拟方法效率明显高于谱表示方法，尤其是与双指标谱表示方法相比。此外，4阶和6阶AR模型的模拟效率相差较小。在所需内存上，当模拟点数分别为512和128时，单指标和双指标谱表示方法即出现内存不足的现象。由此可见，谱表示方法所需要的内存明显大于基于AR模型的模拟方法。