王 涛，郭 科，赵世莲

(西华师范大学 数学与信息学院，四川 南充 637009)

0 引 言

H指的是一个具有内积〈.,.〉和范数‖·‖的实Hilbert空间，T：H→H，T的不动点集为

我们称T是一个压缩映射，若存在0<α<1有

‖Tx-Ty‖≤α‖x-y‖， ∀x，y∈H，

称T：H→H是非扩张映射，若

‖Tx-Ty‖≤‖x-y‖， ∀x，y∈H。

在这篇文章中，我们的目的是找到定义在H上的映射T的不动点。该问题的相关研究结果有很多，特别地，由压缩映像原理[1]可知，当T为压缩映射时，给定某个x1∈H，考虑迭代

xn+1=Txn∀n=1,2,…，

此时，{xn}n∈N弱收敛于T的不动点。

由于T是压缩映射这一条件较难满足，因此，对于T为非扩张映射的情形，文献[2-3]提出了Krasnoselskii-Mann迭代。任意给定x1∈H，存在某个适当的λ∈[0,1]，递推关系为

xn+1=(1-λ)xn+λTxn， ∀n=1,2,…，

之后，Reich[4]在此基础上将λ变成λn∈[0,1]，提出了更为一般的迭代

xn+1=(1-λn)xn+λnTxn， ∀n=1,2,…，

并且，在下述两个条件成立的情况下，{xn}n∈N弱收敛到T的一个不动点，

最近，Christian Kanzow和他的合作者共同提出了一种广义的Krasnoselskii-Mann迭代[5]，其迭代格式如下：

xn+1=αnxn+βnTxn， ∀n=1,2,…，

其中{αn},{βn}是[0,1]上的实序列且满足αn+βn≤1，∀n=1,2,…。如果以下两个条件成立，则通过该迭代产生的序列{xn}弱收敛到T的不动点：

而Shiro-Ishikawa[6]在Krasnoselskii-Mann之后获得了一种形式上更具一般性，应用上具有更强的适应性[7]的迭代，该迭代过程为

xn+1=(1-αn)xn+αnT[(1-βn)xn+βnTxn]， ∀n=1,2,…，

其中{αn}和{βn}均属于[0,1]。显然 ，当βn≡0时，Ishikawa迭代就为Krasnoselskii-Mann迭代。所以，我们借助文献[5]的思想，提出如下广义的Ishikawa迭代，该迭代过程为

xn+1=αnxn+βnT(snxn+tnTxn)， ∀n=1,2,…，

其中{αn},{βn},{sn},{tn}是[0,1]上的实序列，并且αn+βn1，sn+tn1。在适当的条件下，我们证明了该算法弱收敛到T的一个不动点。

本文的第二部分给出相关的定义和定理。而第三部分给出了本文的主要结果，并对算法收敛性进行了证明。在第四部分，将本文提出的广义Ishikawa迭代算法应用到了求解变分不等式问题。

1 预备知识

在本部分，我们首先给出一些收敛性证明需要用到的基本知识。……