张 露, 刘喜兰

(青海民族大学 数学与统计学院, 青海 西宁 810007)

1 引言及预备知识

二阶微分方程在应用数学与物理领域中有着极为广泛的应用,例如工程学上均匀杆轴向受力问题、由N部分不同密度构成的金属支索丝一致截面的振动问题等[1].基于其丰富的实际应用背景,二阶非线性常微分方程边值问题正解的存在性问题在整个常微分方程研究领域显得尤为重要.对于经典的边值问题,已取得深入而系统的结果,而对非局部边值问题的研究也日臻成熟,参见文献[2-15].

Ma[2]率先研究三点边值问题

正解的存在性,提出了研究这类问题的关键条件

0<αη<1,

并在非线性项满足超线性或次线性的前提下,运用锥上的不动点定理建立了正解的存在性结果.文献[3-6]等将上述结果推广和发展到更广泛的边界条件及更一般的线性微分算子的情形.

值得注意的是,大多数研究结果都是建立在非线性项非负的前提下,而对于非线性项允许取负值的情形,研究相对较少,见文献[6-7].

Yao[6]借助于锥上的不动点定理考虑了半正问题

(1)

正解的存在性.Xu[7]运用不动点指数理论对半正问题(1)中λ=1的情形,给出了多个正解的存在性结果.

(H1)λ>0为参数,f∈C([0,1]×[0,+∞),R),且对任意的t∈(0,1),有f(t,0)<0;

(H2) 存在m>0,使得

对t∈(0,1)一致成立.

令X=C[0,1],则X按范数

构成Banach空间.

通过简单计算可得G:[0,1]×[0,1]→[0,∞)连续非负且G(t,s)>0,∀t,s∈(0,1)×(0,1).

定义Hilbert空间L2(0,1)中的内积为

令

B={u∈C2[0,1]:u(0)=0,u(1)=αu(η)},

显然B与B*都是L2(0,1)的子空间.对u∈B,记算子Lu=-u″,对v∈B*,记算子L*v=-v″,则有引理1.2.

引理1.2对任意的u∈B,v∈B*,有(Lu,v)=(u,L*v).

证明对任意的u∈B,v∈B*,

所以,对任意的u∈B,v∈B*,有(Lu,v)=(u,L*v).

根据前面的讨论可知,问题

(2)

为问题(1)的共轭问题.

称u是问题(2)的解，是指u∈B*且满足L*u=λf(t,u(t)),即

其中,u1(t)是问题

(3)

在C2[0,η]中的解,u2(t)是问题

(4)

在C2[η,1]中的解,且满足

引理1.3设G*(t,s)为问题(2)的Green函数,则G*(t,s)=G(s,t).

若0≤t≤η,则

f(s,u(s))ds,

显然u(0)=0.

u″(t)=-λf(t,u(t)),

所以u(t)在[0,η]上二阶连续可导,并满足(3)式.

若η≤t≤1,则

显然u(1)=0.

u″(t)=-λf(t,u(t)),

定义算子K:X→X为

记K的伴随算子为

(5)

引理1.4(5)式所定义的K*为线性全连续算子.令r(K*)表示K*的谱半径,则r(K*)>0,且存在ψ1∈X满足∀t∈(0,1),ψ1(t)>0,使得K*ψ1=r(K*)ψ1.

(6)

存在主特征值λ1>0,其所对应的特征函数φ1>0,t∈(0,1),且‖φ1‖=1.

证明因为φ1满足(6)式,则有

对上式两边同时乘ψ1,在0到1上积分得

由引理1.1可知,问题(1)等价于算子方程

u-λKf(t,u)=0,u∈X.

(7)

称(λ∞,∞)为问题(7)从无穷远处产生的分歧点,是指存在(μn,un)∈R×X满足(7)式,使得μn→λ∞,‖un‖→∞.

2 主要结果及证明

定理2.1假定条件(H1)和(H2)成立,若存在ε>0使得下列条件之一成立:

(i) 对任意的t∈(0,1),a(t)>0,且λ∈[λ∞-ε,λ∞);

(ii) 对任意的t∈(0,1),A(t)<0,且λ∈(λ∞,λ∞+ε],

则问题(1)至少存在一个正解.

首先,将f(t,·)延拓，使其定义在整个实数集R,即

定义

Φ(λ,u):=u-λKF(u), ∀u∈X.

若对任意的u>0,使得Φ(λ,u)=0成立,则u为方程(1)的解.

为了证明定理1,首先需证明下面3个引理.

引理2.2对任意的紧区间Λ⊂R+{λ∞},存在r>0,使得对任意的λ∈Λ,‖u‖≥r,有Φ(λ,u)≠0.进一步,

(i) 若a(t)>0,可取Λ=[λ∞,λ],∀λ>λ∞;

(ii) 若A(t)<0,可取Λ=[0,λ∞].

证明反设存在μn→μ≥0,μ≠λ∞,且‖un‖→∞,满足

un=μnKF(un).

ωn=μn‖un‖-1KF(un).

则由引理1.1及μm|ω|≥0知ω≥0.又因‖ω‖=1,所以μm=λ1,这与μ≠λ∞矛盾.故结论成立.

下面证明当a(t)>0时,Λ=[λ∞,λ],∀λ>λ∞.

-ω″(t)=μm|ω(t)|,t∈(0,1),

又因un满足

(8)

对(8)式两边同时乘ψ1,在0到1上积分,由引理1.6得

从而

由Fatou引理得

mun(t)]ψ1(t)dt≤0,

这与a>0矛盾.对A(t)<0的情形类似可证,此处略去.

引理2.3对λ>λ∞,存在r>0使得对任意的τ≥0,‖u‖≥r,有Φ(λ,u)≠τφ1.

证明反设存在τn≥0,‖un‖→∞,满足Φ(λ,u)=τnφ1,则有

τnφ1(t).

(9)

由条件(H2)知,当n充分大时,

f(t,|un|)≐m|un|,

则由引理1.1可知un≥0.所以f(t,|un|)=f(t,un).对(9)式两边同时乘ψ1,在0到1上积分得

所以

(10)

由条件(H2)知,当n→∞时有

对上式两端取极限得:λ1≥λm>λ∞m=λ1,矛盾.

Ψ(λ,z)=‖u‖-2Φ(λ,u)=

则由拓扑度的同伦不变性得

(11)

当λ>λ∞时,由引理2.3知,∀t∈[0,1],∀u∈X,当‖u‖≥r时有Φ(λ,u)≠t‖u‖2φ1,从而

ψ(λ,z)≠tφ1, ∀t∈[0,1],

因此

(12)

令

Σ={(λ,u)∈R+×X:u≠0,Φ(λ,u)=0},

由(11)和(12)式得到下面的引理.

引理2.4(λ∞,∞)为(7)式从无穷远处产生的分歧点,即存在从无穷远处产生的无界连通分支Σ∞⊂Σ.进一步,若a>0,则Σ∞向左分歧,若A<0,则Σ∞向右分歧.

定理2.1的证明根据引理2.2～2.4知,存在问题(1)的解(μn,un)满足μn→λ∞,‖un‖→∞,则对充分大的n及t∈(0,1)有un>0成立.

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