余 丽

(宜春学院 数学与计算机科学学院和应用数学研究中心, 江西 宜春 336000)

近年来,用二阶切导数刻画集值优化问题最优性条件取得了突破性的成果[1-4].Aubin等[1]引进的二阶切集,在建立二阶最优性条件中起着重要作用.Jahn等[2]引进了广义二阶切上图导数并建立了二阶最优性条件.然而,该广义二阶切上图导数是借助二阶切集定义的,二阶切集仅为闭集,通常情况下并不是锥,即使是凸集,它的二阶切集也不一定为凸集.因而,与切上图导数相比较,广义二阶切上图导数不具备一些类似性质.为克服此问题,Zhu等[4]引进了一种新的二阶切上图导数——二阶复合切上图导数(second-order compound contingent epiderivative),并在一定条件下建立了存在性定理,证明了该导数是严格正齐次和次可加的,同时,借助该导数得到了集值优化问题局部弱有效元的二阶必要最优性条件.另一方面,有效解是集值优化的重要组成部分,对有效解的研究已经取得了丰硕的成果[5-7].然而,对有效解的研究大多局限在拓扑空间,目前为止,只有少量文献在线性空间中研究集值优化问题有效解的最优性条件[8-10].众所周知,线性空间是比拓扑空间更大的空间,为此,在线性空间中研究集值优化问题最优性条件显得尤为重要.本文利用二阶复合切上图导数,在实序线性空间中建立集值优化问题ε-Henig真有效元的二阶最优性条件.由于逼近解结构中含有ε,为此,定理的结构在形式上与文献[4]略有不同.与此同时,证明方法上也有很大的差别:除了借助二阶复合切上图导数的概念外,还利用了基函数和均衡吸收凸集的性质,并结合反证法得到了相关结论.文献[4]的结论不包含本文结论,本文推广了文献[2-3]的相关结论.

1 基本概念及有关结论

设X、Y为实序线性空间,Ø≠K⊂Y,K的生成锥定义为cone K:={λk:k∈K,λ≥0}.K称为凸锥当且仅当λ1k1+λ2k2∈K,∀λ1,λ2≥0,∀k1,k2∈K.锥K称为点的当且仅当K∩(-K)={0}.K称为非平凡的当且仅当K≠{0}且K≠Y.用intK和clK表示K的内部和闭包.设C⊂Y为非平凡的点闭凸锥,且intC≠Ø.设F:X→2Y为集值映射,F的域、图和上图分别定义为:

domF:={x∈X|F(x)≠Ø},graphF:={(x,y)∈X×Y|y∈F(x)},epiF:={(x,y)∈X×Y|y∈F(x)+C}.

定义1.1[11]设B为Y中的非空凸子集,B称为C的基当且仅当C=coneB,且存在一均衡吸收的凸集V使得0∉B+V.

记Bst:={y*∈Y*:存在t>0,使得y*(b)≥t,∀b∈B}.以下假设B是C的基,设V⊆Y是均衡吸收的凸集,满足0∉B+V.记CV(B):=cone(B+V).易知CV(B)是非平凡的点凸锥且0∉cor(CV(B)).

定义1.3[12]设Ø≠K⊂Y,K的代数内部定义为

corK:={k∈K|∀k′∈Y,∃λ′>0,

∀λ∈[0,λ′],k+λk′∈K}.

定义1.4[13]设Ø≠K⊂Y,K称为均衡的当且仅当∀k∈K,∀λ∈[-1,1],有λk∈K.K称为吸收的当且仅当0∈corK.

注1.1[11]由定义1.3和定义1.4知,非空集合K称为吸收的当且仅当∀y∈Y,∃λ′>0,∀λ∈[0,λ′],有λy∈K.

∃tn↓0,

或等价于

∃λn→+∞,

2 最优性条件

考虑下面的集值优化问题：

(P)minF(x)

s.t.x∈S,

其中,Ø≠S⊂X,F:S→2Y为集值映射.

∉

(1)

即

(3)

于是

由定义1.7有

(4)

因为

由(3)和(4)式知

即

∀n≥N2.

(7)

于是由(6)和(7)式知,∀n≥max(N1,N2),有

-intcone(B+V+ε)-C⊂

-intcone(B+V+ε).

(8)

并且由(5)式有

结合(8)式,∀n∈N,n≥max(N1,N2),存在K1(n)∈N使得

即

∀n≥max(N1,N2), ∀k≥K1(n).

(9)

结合(9)式,有∀n≥max(N1,N2),∀k≥K1(n),有

⊂-intcone(B+

V+ε)-C⊂-intcone(B+V+ε),

于是

(10)

下面证明

先证明0∉intcone(-B-V-ε).反证法.若

0∈intcone(-B-V-ε),

则由cone(-B-V-ε)为凸集知

intcone(-B-V-ε)=intclcone(-B-V-ε).

因为0∈intclcone(-B-V-ε),所以

clcone(-B-V-ε)=Y.

任取b∈B⊂Y,则存在{tλ(-bλ-vλ-ε):λ∈Λ}使得tλ(-bλ-vλ-ε)→b,其中tλ≥0,bλ∈B,vλ∈V.因为ε∈C,则存在b1∈B,λ1≥0,使得ε=λ1b1,于是

tλ(-bλ-vλ-λ1b1)-b→0.

因为0∉B+V,于是存在λ0∈Λ,bλ0∈B,Vλ0∈V使得

tλ(-bλ-vλ-λ1b1-b)=bλ0+vλ0,

于是

-tλvλ-vλ0=bλ0+tλbλ+tλλ1b1+tλb.

两边同时除以2tλ+tλλ1+1得

因为V是均衡吸收凸的,有

⊂V,

所以

由B是C的有界基及文献[15]中命题2.1知存在t>0使得Bst≠Ø.设φ∈Bst,于是有φ(b)≥t,∀b∈B.于是

此与(12)式矛盾.于是

0∉intcone(-B-V-ε).

(13)

由(10)式知存在

从而

y*∈intcone(-B-V-ε)⊂cone(-B-V-ε).

由(13)式得y*≠Ø,于是存在λ2>0,b2∈B,v2∈V,使得

y*=λ2(-b2-v2-ε),

所以

结合(14)式有

即

因为-(b2+v2)≠0,于是

-b2-v2∈-(B+V)⊂-cone(B+V){0},

所以

Ø,

即

Ø.

此与(2)式矛盾.故(1)式成立.

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