师白娟

(西北大学 数学学院, 陕西 西安 710127)

1 引言及预备知识

对任意n≥0,著名的第一、二类切比雪夫多项式Tn(x)和Un(x)的定义如下:

显然Tn(x)和Un(x)是二阶线性递推多项式,并且满足递推公式:

Tn+1(x)=2xTn(x)-Tn-1(x),n≥1,

T0(x)=1,T1(x)=x,

T2(x)=2x2-1,T3(x)=4x3-3x;

Un+1(x)=2xUn(x)-Un-1(x),n≥1,

U0(x)=1,U1(x)=2x,

U2(x)=4x2-1,U3(x)=8x3-4x.

{Tn(x)}和{Un(x)}的通项公式为:

受上述文献的启发,研究包含第一类Chebyshev多项式和第二类Chebyshev多项式的r-循环矩阵的谱范数和Euclidean范数.

定义1.1矩阵A=(aij)∈Mm×n的欧几里得范数与谱范数定义为:

其中,λi是矩阵AHA的特征值,矩阵AH是矩阵A的共轭转置矩阵.

下面有关矩阵A的欧几里得范数与谱范数的不等式成立[6]:

(1)

(2)

引理1.1[7]设矩阵A和B是2个m×n矩阵,那么

‖A∘B‖2≤‖A‖2‖B‖2,

其中A∘B是A和B的Hadamard积.

引理1.2[7]设A和B是2个m×n矩阵,那么

‖A∘B‖2≤r1(A)c1(B),

其中

引理1.3当1-x2≠0时,

证明

2 主要结论

(i) 如果|r|≥1,那么

(ii) 如果|r|<1,那么

‖An‖2是矩阵An的谱范数,其中

证明

由谱范数定义可得

(i) 当|r|≥1,由引理1.3有

n+n(K1-1)=nK1.

因此

另一方面,设矩阵B和C为:

则An=B∘C有

因此

(ii) 当|r|<1时,

‖An‖E=

因此

另一方面,对矩阵B和C有

因此

综上

推论2.1设D=LDr(Tn-1(x),Tn-2(x),Tn-3(x),…,T1(x),T0(x))是r-左循环矩阵,则有:

(i) 如果|r|≥1,那么

(ii) 如果|r|<1,那么

‖Dn‖2是矩阵Dn的谱范数,其中

证明方法与上面相同,并有相同结果.

定理2.2设n×n矩阵

Circr(U0(x),U1(x),…,Un-1(x))∈Mn

是r-循环矩阵,则有:

(i) 如果|r|≥1,那么

(ii) 如果|r|<1,那么

‖On‖2是矩阵On的谱范数,其中

证明

由谱范数定义可得

(i) 当|r|≥1,由引理1.3有

因此

另一方面,设矩阵P和Q分别为:

则On=P∘Q,

因此

(ii) 当|r|<1时,

n+n|r|2(K2-1).

因此

另一方面,对矩阵P和Q有

因此

推论2.2设E=LEr(Un-1(x),Un-2(x),…,U1(x),U0(x))是r-左循环矩阵,则有：

(i) 如果|r|≥1,那么

(ii) 如果|r|<1,那么

‖En‖2是矩阵En的谱范数,其中

证明方法与定理2.2证明相同,结果相同.

因此证明了所有的结论,当r=1时，可以得到Chebyshev多项式的关于循环矩阵的谱范数的上下界估计.同样的方法适用于所有的线性递推数列或多项式.

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