王 容, 廖群英

(四川师范大学 数学与软件科学学院, 四川 成都 610066)

欧拉函数是数论中一个非常重要的函数,它是18世纪数学界最杰出的人物之一——欧拉提出来的:正整数n的欧拉函数φ(n)的值等于序列0,1,2,…,n-1中与n互素的整数个数[1].欧拉函数有着很广泛的应用,尤其是自20世纪70年代以来,欧拉函数成为RSA公钥密码体制得以建立的重要数学工具之一.迄今为止,有很多关于欧拉函数的问题尚未解决[2],比如Carmichael猜想,即对于任何正整数n,总存在一个正整数m≠n,使得φ(m)=φ(n);还有Schinzel猜想,即对于任何正整数k,方程φ(n+k)=φ(n)有无限个解,等等.

另一方面,早在1938年,Lehmer[3]就建立了如下的重要同余式

(1)

其中qr(n)是欧拉商数,即

自然数n,r≥2且gcd(n,r)=1.

用(1)式和一些类似的同余式,Lehmer找到很多方法来证明费马大定理的第一种情况[4].从2002年到2007年,文献[5-6]将Lehmer的其它同余式从模素数的平方推广到模任意整数的平方,并定义正整数n的广义欧拉函数为

(2)

其中μ(n)是麦比乌斯函数,即

由欧拉函数的定义可得φ1(n)=φ(n).因此一个自然的问题是:对任意固定的e,能否得到φe(n)的准确计算公式?

近年来,文献[7-9]利用勒让德符号和雅可比符号等性质给出了φe(n)(e=2,3,4,6)的准确计算公式,以及给出φe(n)和φe(n+1)(e=2,3,4)同为奇数的充要条件.

本文进一步研究该问题,给出一些特殊正整数n的广义欧拉函数φ5(n)的准确计算公式,并讨论其奇偶性,即证明了如下主要结果:

1)n=5α,其中α≥2为正整数;

定理21) 若素数p=5k+m,其中k≥0为整数且0≤m≤4,则

2) 若n=pα,其中α≥2为整数且p为不等于5的素数,则

其中,m2≡pα-1(mod 5),m1≡pm2(mod 5),1≤mi≤4(i=1,2).

其中,αi≥1,gcd(pi,5)=1且1≤mi,ni≤4(i=1,2),则

定理31) 设p为素数,则φ5(p)为偶数当且仅当p=2或者p≡1,3(mod 10).

2) 设n=pα,其中α≥2为整数且p为素数,则φ5(n)为偶数当且仅当p=5,或者下列条件之一成立:

(i)p≡1(mod 5)且m1=m2;

(ii)p≡3(mod 5)且(m1,m2)=(3,1)或者(2,4);

(iii)p≡2(mod 5)且(m1,m2)=(1,3)或者(4,2),

其中1≤mi≤4(i=1,2),且

1 主要结果的证明

定理1的证明1) 若n=5α,其中α≥2为正整数,故由(2)和(3)式可知

这就证明了定理1的情况1).

这就证明了定理1的情况2).

(4)

其中,1≤mi,ni≤4(i=1,2)且

(5)

即m2=n1且m1=n2.因此,由(4)式可得

其中,1≤mi,ni≤4(i=1,2)且

这就证明了定理1的情况3).

定理2的证明1) 若素数p=5k+m,其中k≥0为整数且0≤m≤4,则由(2)和(3)式可知

这就证明了定理2的情况1).

2) 若n=pα,其中p≠5为素数,α≥2为正整数,则由(2)和(3)式可得

其中,1≤mi≤4(i=1,2)且

(7)

即

(8)

这就证明了定理2的情况2).

其中,1≤mi,ni≤4(i=1,2)且

(9)

即

(10)

这就证明了定理2的情况3).

情形 1:若m1=m2,则由(p,5)=1以及(8)式可得pα-1×(p-1)≡0(mod 5),即p≡1(mod 5).

情形 2:若m1=3,m2=1,则由(p,5)=1以及(8)式可知m1≡pm2(mod 5),即p≡3(mod 5).

情形 3:若m1=1,m2=3,则由(p,5)=1以及(8)式可知m1≡pm2(mod 5),故1≡3p(mod 5),即p≡2(mod 5).

情形 4:若m1=2,m2=4,则由(p,5)=1以及(8)式可知m1≡pm2(mod 5),故2≡4p(mod 5),即p≡3(mod 5).

情形 5:若m1=4,m2=2,则由(p,5)=1以及(8)可知m1≡pm2(mod 5),即4≡2p(mod 5),即p≡2(mod 5).

这就证明了定理3的情况2).

2 应用举例

下面通过定义和应用定理1的2种计算方法来计算φ5(n),其中用定义直接计算显得比较繁琐,当n很大时,计算量就越大.而应用定理可以很便捷地计算出φ5(n),以下通过几个实例进行说明.

另一方面,由于素数11=5×2+1,即m=1.故由φ(11)=10以及定理2的情况1)可知

另一方面,由n=33=27,即p=3,α=3,可得

m2≡32≡4(mod 5),m1≡3m2≡2(mod 5),

即m1=2,m2=4.故由φ(27)=18以及由定理2的情况2)可得

另一方面,由n=53=125,即p=5.故由φ(125)=100以及由定理1的情况1)可得

另一方面,由n=341,即

p1=11≡1(mod 5),p2=31≡1(mod 5),

故由φ(341)=300以及由定理1的情况2)可得

另一方面,由n=11×23=88,即p1=11,p2=2,α1=1,α2=3,因为p1=11≡1(mod 5),故由φ(88)=40以及由定理1的情况3)可得

另一方面,由n=23×32=72,即p1=2,p2=3,α1=3,α2=2,可得

即n1=2,n2=2,m1=1,m2=4.故由φ(72)=24以及由定理2的情况3)可得

[1] IRELAND K, ROSEN M. A Classical Introduction to Modern Number Theory[M]. New York:Springer-Verlag,1990.

[2] GUY R. Unsolved Problems in Number Theory[M]. New York:Springer-Verlag,2004.

[3] LEHMER E. On congruences involving Bernoulli numbers and the quotients of Fermat and Wilson[J]. Ann Math,1938,39(2):350-359.

[4] RIBENBOIM P. 13 Lectures on Fermat’s Last Theorem[M]. New York:Springer-Verlag,1979.

[5] CAI T X. A congruence involving the quotients of Euler and its applications(I)[J]. Acta Aritmetica,2002,103(4):313-320.

[6] CAI T X, FU X D, ZHOU X. A congruence involving the quotients of Euler and its applications (II)[J]. Acta Aritmetica,2007,130(3):203-214.

[7] 蔡天新,沈忠燕,胡孟君. 广义欧拉函数的奇偶性(英)[J]. 数学进展,2013,42(4):505-510.

[8] 丁煜. 广义欧拉函数及其性质[D]. 杭州:浙江大学,2008.

[9] 沈忠燕,蔡天新,胡孟君. 广义欧拉函数的奇偶性(II)(英)[J]. 数学进展,2016,45(4):509-519.