林屏峰

(西南民族大学预科教育学院，四川 成都 610041)

上世纪九十年代末，Ralpha N.Mckenzie和Boris M.Schein在文献[1]中指出，任意半群都可以同构于某个二元关系半群的子半群，这说明对二元关系半群的研究具有非常重要的意义.对二元关系半群的研究始于二十世纪中叶，R.J.Plemmons[2-3]等人对集合上的二元关系半群的进行了研究，获得了一些基本性质和一些子半群结构；S.Schwarz[4]对集合上的二元关系半群的幂等元进行了研究.至本世纪初，J.Konieczny[5]对集合上的二元关系半群的正则元也进行了研究.二十世纪七、八十年代，Karen Chase在文献[6-8]中构造了夹心二元关系半群，并研究了这类半群的基本性质和极大子群.本世纪初，作者在文献[9-10]通过推广Karen Chase的夹心二元关系半群，获得从一个集合到另一个集合的二元关系半群，并且对其中一类进行了深入研究.虽已取得许多成果，但是对二元关系半群的研究却还未完成.近年来，作者在文献[10-14]中利用半格的性质构造了集合上的半格确定的二元关系半群，并且对这类半群的Green-关系、一些特殊元(幂等元、不可分解元)进行了深入的研究.作者将在文献[10-14]的基础之上，对集合上的一类特殊半格确定的二元关系半群进行了系统的研究，获得了幂等元的结构和极大子群.

下面给出需要使用的重要符号和概念，主要来源于文献[12].

设Λ是一个非空集合，令P(Λ)＝{U:U⊆Λ}，P*(Λ)＝{U:Φ⊂U⊆Λ}.集合P(Λ)关于集合的并运算构成一个半格.若Γ是P(Λ)的一个子半格，则称Γ是集合Λ上的一个半格.设Γ是集合Λ上的一个半格，令，则sup(Γ) 是 Γ 的最大元.

设min(Γ)是集合Λ上的半格Γ的所有极小元构成的集合.则显然有下列性质:

引理1 设Γ是集合Λ上的半格，U∈Γ，U∈min(Γ).若

设Λ是一个非空集合，令P(Λ×Λ)＝{σ＝U×V｜U，V⊆Λ}，即P(Λ×Λ)是Λ上的所有二元关系构成的集合.设ρ∈P(Λ×Λ)，Γ是集合Λ上的一个半格.定义如下集合，W(ρ，Γ)＝{ρK:K∈ Γ}，则显然W(ρ，Γ)也是集合Λ上的一个半格.

设f:Λ→Γ是一集值变换.定义{λ}， 则αf∈P(Λ×Λ).令PΓ(Λ×Λ)＝{αf:f是Λ到Γ的集值变换}.在文献[11]中证明了PΓ(Λ×Λ)在二元关系的乘积运算下构成半群，称为集合Λ上的半格Γ确定的二元关系半群.

定义1 若集合Λ上的半格Γ满足下列两个条件:(1)对任意U，V∈ Γ，且U≠V，有U∪V＝sup(Γ)；(2)对任意U，V∈Γ，有U∩V≠Φ.则称Γ是集合Λ上的简单半格.

显然集合Λ上的简单半格Γ具有如下性质:Φ∉Γ；对任意U，V∈Γ－{sup(Γ)}，且U≠V，有U－V≠Φ ；min(Γ)＝Γ－{sup(Γ)}，并且min(Γ)是Γ的生成集.

文中涉及的半格理论可参看文献[15].

1 集合Λ上的简单半格Γ确定的二元关系半群PΓ(Λ ×Λ)的幂等元

集合Λ上的简单半格Γ确定的二元关系半群PΓ(Λ×Λ)的幂等元具有下列特征.

定理1 设Γ是集合Λ上的简单半格，ε∈PΓ(Λ×Λ).则ε是幂等元当且仅当

先证明如下性质:

引理2设α，β∈PΓ(Λ×Λ).若存在σ∈PΓ(Λ×Λ) ，使得β°σ＝α， 则W(α，P*(Λ))⊆W(β，Γ)，反之亦然.

证明根据文献[12]中引理2易得.

由引理2容易获得如下性质:

推论1设Φ∉Γ，ε是半群PΓ(Λ×Λ)的幂等元，则W(ε，P*(Λ))＝W(ε，Γ).

引理3设Γ是集合Λ上的简单半格，ε∈PΓ(Λ×Λ).若 Γ′＝W(ε，Γ) ，且ε是幂等元，则半格Γ′是一条长度不超过2的链.

证明 设U1，U2∈ Γ′∩ min(Γ) ，则U1，U2⊂sup(Γ).根据简单半格Γ的定义知，存在λ∈U1∩的下界构成的集合.定义中的最大下界.于是.根据引理1 知，只能是下面三种情形之一:

即Γ′是一条长度不超过2的链.

根据推论1和引理3，显然有如下性质.

推论2设Γ是集合Λ上的简单半格，ε∈PΓ(Λ×Λ).若ε是幂等元，则W(α，P*(Λ))只能是如下三种情形之一:

定理1的证明设Γ是集合Λ上的简单半格，若ε∈PΓ(Λ×Λ)是幂等元，则根据推论2知，W(α，P*(Λ))只能是如下三种情形之一:

文献[13]研究了集合Λ上的简单半格Γ确定的二元关系半群PΓ(Λ×Λ)上的幂等元具有的基本性质，进而利用传递二元关系构造了一类幂等元，但并未刻画幂等元的的基本结构.而定理1将集合上的一般半格这一条件特殊化，变成简单半格，就完全刻画了集合Λ上的简单半格Γ确定的二元关系半群PΓ(Λ×Λ)的幂等元的基本结构.并且集合Λ上的简单半格Γ确定的二元关系半群PΓ(Λ×Λ)的所有幂等元构成一个子半群，见如下定理.

定理2设Γ是集合Λ上的简单半格，EΓ(Λ)是半群PΓ(Λ×Λ)的所有幂等元构成的集合，则EΓ(Λ)是PΓ(Λ×Λ)的子半群.

证明设U1，U2∈ min(Γ).令

情形1 设U1＝U2，则有

情形2 设U1≠U2.由于U1∩U2≠Φ，则有U2∩Λ1≠Φ ，sup(Γ)∩Λ1≠Φ .假设U2∩(Λ－Λ1)＝Φ ，则U2⊆Λ1，从而sup(Γ)＝U1∪U2⊆Λ1，即sup(Γ)－Λ1＝Φ，这与sup(Γ)－Λ1≠Φ矛盾.因此U2∩(Λ－Λ1)≠Φ.又假设sup(Γ)∩(Λ－Λ1)＝Φ ，则有sup(Γ)⊆Λ1，进而sup(Γ)－Λ1≠Φ ，这与sup(Γ)－Λ1≠Φ矛盾.因此sup(Γ)∩(Λ－Λ1)≠Φ.于是有

2 集合Λ上的简单半格Γ确定的二元关系半群PΓ(Λ ×Λ)的极大子群

根据集合Λ上的简单半格Γ确定的二元关系半群PΓ(Λ×Λ)的幂等元的结构，可以获得半群PΓ(Λ×Λ)的极大子群.下面讨论过程中，EΓ(Λ)始终是半群PΓ(Λ×Λ)的所有幂等元构成的集合.

定理3设Γ是集合Λ上的简单半格.则半群PΓ(Λ×Λ)的极大子群是由1个幂等元构成的单位元群.

证明设ε∈EΓ(Λ)，Gε是半群PΓ(Λ×Λ)的以ε作为单位元的极大子群.若α∈Gε，则ε°α＝α，并且存在α′∈Gε，使得α°α′＝α′°α＝ε.根据引理2 知，W(α，P*(Λ)) ⊆W(ε，Γ) ，W(ε，P*(Λ)) ⊆W(α，Γ).由于Φ∉Γ，则显然有Γ⊆P*(Λ).因此W(α，Γ) ⊆W(α，P*(Λ)).又根据推论 1 知，W(ε，Γ) ⊆W(ε，P*(Λ)).因此

即W(α，Γ)＝W(α，P*(Λ))＝W(ε，P*(Λ))＝W(ε，Γ).又根据引理3知，W(ε，Γ) 只能是下面三种情形之一:

[1] MCKENZIE R N，SCHEIN B M.Every semigroups is isomorphic to a transitive semigroup of binary relations[J].Transactions of the American Mathematical Society，1997，349:271-285.

[2] PLEMMONS R J，WEST M T.On the semigroup of binary relations[J].Pacific Journal of Mathematics，1970，35:743-753.

[3] PLEMMONS R J，SCHEIN B M.Groups of binary relations[J].Semigroup Forum，1970，1:267-271.

[4] SCHWARZ S.On idempotent binary relations on a finite set[J].Czechoslovak Mathematical Journal，1970，20:696-702.

[5] KONIECZNY J.The semigroup generated by regular Boolean matrices[J].Southeast Asian Bulletin of Mathematics，2002，25:627-641.

[6] CHASE K.New semigroups of binary relations[J].Semigroup Forum，1979，18:79-82.

[7] CHASE K.Sandwish semigroups of binary relations[J].Discrete Mathematical，1979，28:231-236.

[8] CHASE K.Maximal groups in sandwish semigroups of binary relations[J].Pacific Journal of Mathematics，1982，100:43-59.

[9] 林屏峰.集合I到集合Λ上的二元关系半群Pθ(I×Λ)的正则性[J].西南民族大学学报 (自然科学版)，2009，35(5):951-946.

[10] 林屏峰.集合I到集合Λ上的二元关系半群Pθ(I×Λ)的生成集和Green-关系[J].西南民族大学学报 (自然科学版)，2010，36(1):44-49.

[11] 林屏峰.集合Λ上的半格Γ确定的二元关系半群PΓ(Λ×Λ)的基本性质[J].西南民族大学学报 (自然科学版)，2012，38(4):529-532.

[12] 林屏峰.集合Λ上的半格Γ确定的二元关系半群PΓ(Λ×Λ)的Green-关系[J].西南民族大学学报 (自然科学版)，2013，39(1):26-29.

[13] 林屏峰，曾伟，曾纯一.集合Λ上的半格Γ确定的二元关系半群PΓ(Λ×Λ) 的幂等元[J].山东大学学报(理学版)，2013，48(8):36-40.

[14] 林屏峰.集合Λ上的半格Γ确定的二元关系半群PΓ(Λ×Λ)的不可分解元[J].山东大学学报 (理学版)，2016，51(2):12-15.

[15] BIRKHOFF G.Lattice Theory[M].New York:American Mathematical Society，1967.