谢新吉, 刘占芳,2,3, 杜丘美

(1.重庆大学 航空航天学院，重庆 400044； 2.重庆大学 煤矿灾害动力学与控制国家重点实验室，重庆 400044；3.重庆大学 非均质材料力学重庆市重点实验室，重庆 400044)

近年来随着半导体制造工艺的不断革新，微电子机械系统(Micro-Electro-Mechanical System, MEMS)的不断产业化，微型压力传感器、微型加速度计及微型陀螺仪在诸多领域得到广泛应用[1]。微梁(尺寸为1～100 μm量级)作为MEMS器件中常用的结构之一，其力学特性的测定一直是研究的热点和重点。刘林仙等[2]采用ANSYS仿真分析双T型悬臂微梁的动力学特性，韩雷等[3]介绍了几种微结构动力学特性的测量方法。在此之前不少实验表明，当微结构尺寸不断减小到一定范围，其力学特性会有显著变化。例如，Fleck等[4]利用不同直径的细铜丝进行拉伸及扭转实验，观测到铜丝直径从170 μm减小到12 μm时，其无量纲扭转硬化提高了约3倍，而拉伸实验并没有出现明显尺寸效应。Stolken等[5-7]对不同厚度的纯镍微梁进行了弯曲实验，当梁的厚度小于50 μm后，其无量纲弯曲硬化显著增大。Lam等[8]对不同厚度的环氧树脂微悬臂梁进行弯曲实验中发现，当微梁厚度从115 μm减小到18 μm时，其无量纲弯曲刚度增大约2.4倍。

采用经典弹性力学难以解释和预测上述实验现象，为此研究者们先后提出了各类细观弹塑性理论。其中比较典型的有Cosserat等[9]提出的微级弹性理论， Toupin等[10-11]提出的偶应力理论以及Fleek等[12-13]提出的应变梯度理论。期间还有不少相关理论提出，可参见文献[14-15]。由于特征长度参数的引入，这些理论给出的本构关系都含有较多参数，Yang等[16]提出了修正的偶应力理论，认为曲率张量是对称的，将附加的弹性参数减少为一个。Liu等[17]基于Mindlin的工作提出了另一种修正的偶应力理论，同样只含有一个附加的材料参数，与Yang等提出的理论不同的是，Liu等认为偶应力和曲率张量是无迹的非对称二阶张量，给出相应的本构关系。旋转变形的引入使得该广义弹性力学较之经典弹性力学更加完备，有效地对微小尺寸结构进行静力和动力分析[18]。同时在刚柔耦合分析及平板冲击应力波传播也得到很好的应用[19-20]。

基于各类细观理论，Park等[21]建立偶应力Bernoulli-Euler梁理论，Ma等[22]建立偶应力Timoshenko梁理论，康新等[23]利用Cosserat理论分别研究了微梁振动特性的尺寸效应。然而大部分的研究者都只分析了微梁的基频，很少结合频率所对应的模态做近一步分析。

本文首先介绍广义弹性力学，从虚功原理出发建立广义弹性体有限元动力学方程，对悬臂微梁的固有频率和模态数值分析。进一步得到不同模态对应频率的尺寸效应，分析得出结果，为MEMS结构设计提供一定依据。

1 广义弹性力学理论

考虑小变形范围内，用位移梯度来描述弹性体的变形。在三维笛卡尔坐标系统中，弹性体任意一点的位移梯度是二阶非对称张量，可以分解为一个对称张量和一个反对称张量

ui,j=εij+Ωij

(1)

式中：εij为对称应变张量；Ωij为反对称旋转张量，可以分别表示为

(2)

旋转张量和旋转矢量ωi密切相关，通过置换张量∈ijk得到他们之间的关系

(3)

经典弹性力学中只考虑了应变张量εij描述弹性体的变形，而忽略了旋转变形。广义弹性力学引入曲率张量χij来描述旋转变形

(4)

由式(4)得到曲率张量为位移的二阶梯度，随着尺寸的变小，其对弹性体的影响将不断增加。容易证明曲率张量的迹为χii零，因此由式(4)定义的曲率张量为二阶偏斜张量。

在连续介质力学的基础上，得到任意微元体的动量和动量矩守恒方程，分别为

(5)

(6)

式中：bi和ci分别为体力和体力矩；tji和mji分别为非对称应力和偶应力。非对称应力可以分解为对称应力σij和反对称应力τij之和

tij=σij+τij

(7)

同时由式(6)容易建立偶应力与反对称应力的关系

(8)

由式(5)和式(8)可以得到含偶应力的质点动力学方程

(9)

广义弹性力学建立对应平动和旋转两种变形的本构关系。对应于平动变形的本构关系为广义胡克定律

σij=2μεij+λεkkδij

(10)

旋转变形对应的本构关系则通过虚功原理建立。在静力平衡条件下，边界条件分别写为

(11)

同时考虑体力和体力距，面力和面力偶所做的虚功为

(12)

从而得到内力虚功的变分形式

(13)

即

(14)

由式(14)可知偶应力和曲率张量互为功共轭，同时均为二阶无迹张量，他们的线性关系可以由张量函数表示为

mij=4ηχij

(15)

式中：η为旋转模量，同杨氏模量一样为材料的固有属性，但其数量级要小得多。

考察一个线元，应变张量描述了线元长度的变化，实际上还有线元的三维弯曲，弯曲的程度则用曲率张量来描述。广义弹性力学计及了连续的转动变形，增加了与之对应的偶应力以及动量矩守恒方程等，理论更加完备。

2 广义弹性力学的有限元方程

由式(4)可知曲率张量为位移的二阶导数，需要满足C1连续性要求。为降低连续性要求，在以位移为基本变量的基础上，增加转角为独立变量，并用罚函数法引入约束条件，构造满足C0连续性要求的有限元方程。

对三维广义弹性体模型采用Serendipity六面体单元进行离散，单元内任意一点的位移列阵为

(16)

由单元节点位移插值可得

(17)

由几何方程可得广义应变矩阵为

(18)

其中，

ε=[εxxεxxεxxεxxεxxεxx]T

χ=[χxxχyyχzzχxyχyzχxzχyxχzyχzx]T

式中：B为单元内任意点应变-曲率张量向量与单元结点位移-转角的关系矩阵；Lu为应变与位移的关系矩阵；Lφ为曲率张量与转角的关系矩阵，其表达式分别为

由本构方程可得广义应力矩阵为

(19)

式中：D1为经典弹性力学中描述应力应变关系的本构阵；D2为描述偶应力与曲率张量的关系矩阵：D2=4ηI9，I9为9×9的单位矩阵。

由虚功原理建立有限元方程，考虑三维广义弹性体动力学问题，故增加惯性项，虚功方程式(12)可写为

(20)

(21)

对于罚函数项，基于有限元离散形式，位移和转角的关系为

φe-ωe=Lα[ueφe]T=LαNde=Bαde

(22)

式中：Bα为罚函数项与结点位移-转角列阵的关系矩阵；Lα为罚函数项与位移-转角列阵的微分算子。

将式(17)～式(19)和式(22)代入式(21)可得广义弹性体动力分析的有限元方程

(23)

3 悬臂微梁不同模态对应固有频率的尺寸效应

MEMS结构本身的微小尺寸、高速旋转及超高频振动响应，决定了MEMS结构动力学特性的复杂性，为此有必要对其高阶频率和模态进行分析。

现今广泛使用的大型通用有限元分析(Finite Element Analysis, FEA)软件，都以经典弹性力学为基础，并不适用于分析微小尺寸结构。本文基于广义弹性力学，建立三维有限元动力学方程，使用MATLAB语言编制仿真程序，分析计算悬臂微梁不同模态所对应的固有频率。悬臂微梁的结构尺寸如图1所示。

采用均质高纯度镍作为分析材料，材料属性见表1所示。

图1 悬臂微梁的几何尺寸Fig.1 The geometry size of cantilever micro-beam

E/GPavρ/(kg·m-3)η/N2070.3128 9002.84

表1中，η为旋转模量，和杨氏模量一样为材料的固

有属性，其取值由实验测量得到，但量级要小得多。

首先计算10 mm厚和10 mm厚悬臂微梁的动力学特性，其尺寸取值分别为(L=100 mm，b=10 mm,a=8 mm)和(L=100 μm,b=10 μm,a=8 μm)，分别将经典弹性力学和广义弹性力学的计算结果与ANSY仿真结果对比，对比结果，如表2所示。结果表明宏观尺寸下广义弹性理论预测的结果与ANSYS和经典理论的预测结果一致，说明本文的算法可行，在微观尺寸下，广义弹性理论预测的结果与ANSYS和经典理论的预测结果有显著变化，这与文献[18]分析结果和文献[23]得到的理论定性分析结果相符。

表2 宏观和微观两种尺度下悬臂微梁前5阶固有频率

为准确描述固有频率的尺寸效应，结合模态对结果进行整理。不再按照频率的大小顺序定义模态和频率的阶数，而以模态的变形模式进行定义，对比结果，如表3和表4所示。

表3 两种理论预测10 mm厚悬臂微梁不同模态对应的固有频率

由表3中数据对比不难发现，对于较大尺寸悬臂微梁，不论何种模态所对应的频率，广义弹性力学预测的固有频率与经典弹性力学基本保持一致，微小的旋转变形并不能影响结构的变形模式。

表4 两种理论预测10 mm厚悬臂微梁不同模态对应的固有频率

对于微观尺寸悬臂微梁，广义弹性力学得到的不同模态所对应的固有频率相比经典弹性力学呈现出不同幅度的提高，即弯曲和扭转模态包含了旋转变形，所对应频率皆有显著提高，扭转提高幅度较大，而拉压模态不涉及旋转变形，所对应频率则基本没有变化，表明悬臂微梁的固有频率是否存在尺寸效应与对应的模态有关。

逐步减小尺寸，得到不同尺寸下悬臂微梁不同模态对应的固有频率，以微梁厚b的对数作为横坐标，广义弹性力学相比经典弹性力学得到固有频率的增幅为纵坐标，如图2所示。

图2 广义弹性力学相比经典弹性力学预测不同尺寸下悬臂微梁的不同模态所对应频率的增幅Fig.2 The corresponding increase amplitude of different modes of cantilever micro-beam predicted by generalized elasticity theory and classical elasticity under different size

图2中的3条曲线分别表示一阶扭转、一阶弯曲和一阶拉压模态所对应的频率增幅随尺寸的变化，可以看出随着尺寸的减小，旋转变形不断增大，结构动力学特性的旋转效应将逐步体现。受旋转变形影响的弯曲和扭转模态对应的固有频率增幅不断提高，而对于拉压模态对应的固有频率则始终没有变化，不存在尺寸效应。

4 结 论

本文分析结果表明悬臂微梁的固有频率是否存在尺寸效应与对应的模态密切相关。弯曲和旋转模态由于包含了旋转变形，其对应的固有频率存在显著的尺寸效应；而拉压模态不涉及旋转变形，其对应的固有频率无尺寸效应。

对于一个弹性体的变形度量，不仅需要考虑应变张量，同时需要考虑描述弯曲程度的曲率张量。宏观尺寸结构的旋转效应基本可以忽略，随着结构尺寸的不断减小，变形的空间受到越来越大的约束，小尺寸结构的线元弯曲程度会越来越大，旋转变形的效应也随之越来越大，成为影响结构变形的重要因素。经典弹性力学由于缺失旋转变形及其相应的本构关系，预测微小尺寸结构的力学特性低于实验结果。广义弹性力学考虑了连续的旋转变形，完善了经典弹性力学，能够有效地分析微小尺寸结构的力学特性。

参 考 文 献

[ 1 ] 王淑华. MEMS传感器现状及应用[J]. 微纳电子技术，2011, 48(8): 516-522.

WANG Shuhua. Current status and applications of MEMS sensors [J]. Micronanoelectronic Technology, 2011,48(8):516-522.

[ 2 ] 刘林仙，张国军，许姣，等. 双T型MEMS仿生矢量水听器的设计与测试[J]. 振动与冲击，2013, 32(2): 129-134.

LIU Linxian, ZHANG Guojun, XU Jiao, et al. Design and test for a double T-shape MEMS bionic vector hydrophone [J]. Journal of Vibration and Shock, 2013, 32(2): 129-134.

[ 3 ] 韩雷，严国政. 底座激振下微型叠层芯片共振频率检测[J]. 振动与冲击，2012, 31(7): 153-157.

HAN Lei, YAN Guozheng. Resonant frequency measurement for a micro stacked chip with base excitation [J]. Journal of Vibration and Shock, 2012, 31(7): 153-157.

[ 4 ] FLECK N A, MULLER G M, ASHBY M F, et al. Strain gradient plasticity: Theory and experiment[J]. Acta Metallurgica et Materialia, 1994, 42(2): 475-487.

[ 5 ] STOLKEN J S, EVANS A G. A microbend test method for measuring the plasticity length scale[J]. Acta Materialia, 1998, 46(14): 5109-5115.

[ 6 ] 郭香华，方岱宁，李喜德. 用电子散斑法对纯镍薄片弯曲变形的测量[J]. 力学与实践，2005, 27(2): 22-25.

GUO Xianghua, FANG Daining, LI Xide. Measurement of deformation of pure Ni Foils by speckle pattern interferometry[J]. Mechanics in Engineering, 2005, 27(2): 22-25.

[ 7 ] 冯秀艳，郭香华，方岱宁，等. 微薄梁三点弯曲的尺度效应研究[J]. 力学学报，2007, 39(4): 479-485.

FENG Xiuyan，GUO Xianghua, FANG Daining, et al. Three-point microbend size effects for pure Ni foils[J]. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2007, 39(4): 479-485.

[ 8 ] LAM D C C, YANG F, CHONG A C M, et al. Experiments and theory in strain gradient elasticity [J]. Journal of the Mechanics & Physics of Solids, 2003, 51(8): 1477-1508.

[ 9 ] COSSERAT E, COSSERAT F. Theorie des corps deformables[M]. Paris: Herman et Fils,1909.

[10] TOUPIN R A. Elastic materials with couple-stresses [J]. Archive for Rational Mechanics and Analysis, 1962, 11(1): 385-414.

[11] MINDLIN R D, TIERSTEN H F. Effects of couple-stresses in linear elasticity [J]. Archive for Rational Mechanics and Analysis, 1962, 11(1): 415-448.

[12] FLEEK N A, HUTEHINSON J W. A phenomenological theory for strain gradient effects in plasticity[J]. Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 1993, 41(12): 1825-1857.

[13] FLEEK N A, HUTEHINSON J W. Strain gradient plasticity [J]. Advances in Applied Mechanics, 1997, 33: 295-361.

[14] 黄克智，邱信明，姜汉卿. 应变梯度理论的新进展(一)—偶应力理论和SG理论[J]. 机械强度, 1999, 21(2): 81-87.

HUANG Kezhi, QIU Xinming, JIANG Hanqing. Recent advances in strain gradient plasticity-I—couple stress theory and SG theory[J]. Journal of Mechanical Strength, 1999, 21(2): 81-87.

[15] 陈少华, 王自强. 应变梯度理论进展[J]. 力学进展, 2003, 33(2): 207-216.

CHEN Shaohua, WANG Ziqiang. Advances in strain gradient theory[J]. Advances in Mechanics, 2003, 33(2):207-216.

[16] YANG F, CHONG A C M, LAM D C C, et al. Couple stress based strain gradient theory for elasticity [J]. International Journal of Solids and Structures, 2002, 39(10): 2731-2743.

[17] LIU Z F, FU Z. Scale effects of the stress symmetry in generalized elasticity[J]. International Journal of Aerospace and Lightweight Structures, 2012, 2(4): 509-521.

[18] 颜世军, 刘占芳. 修正的偶应力线弹性理论及广义线弹性体的有限元方法[J]. 固体力学学报，2012, 33(3): 279-287.

YAN Shijun, LIU Zhanfang. A modified couple stress linear elasticity and finite element method for generalized elastic bodies [J]. Chinese Journal of Solid Mechanics, 2012, 33(3): 279-287.

[19] 刘占芳, 颜世军, 冯晓伟. 离心场中含旋转梯度影响的弹性体动力特性分析[J]. 振动与冲击，2012, 31(16): 164-168.

LIU Zhanfang, YAN Shijun, FENG Xiaowei. Dynamic analysis of elastic body with rotation gradient effects in centrifugal field [J]. Journal of Vibration and Shock, 2012, 31(16): 164-168.

[20] LIU Z F, SUN X Y, GUO Y, et al. On elastic stress waves in an impacted plate [J]. International Journal of Applied Mechanics, 2014, 6(4): 1450047.

[21] PARK S K, GAO X L. Bernoulli-euler beam model based on a modified couple stress theory [J]. Journal of Micromechanics and Microengineering, 2006, 16(11): 2355-2359.

[22] MA H M, GAO X L, REDDY J N. A microstructure-dependent Timoshenko beam model based on a modified couple stress theory [J]. Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 2008, 56(12): 3379-3391.

[23] 康新, 席占稳. 基于Cosserat理论的微梁振动特性的尺度效应[J]. 机械强度，2007, 29(l): l-4.

KANG Xin, XI Zhanwen. Size effect on the dynamic characteristic of a micro beam based on Cosserat theory [J]. Journal of Mechanical Strength, 2007, 29(l): 1-4.