☉江苏省南京市竹山中学 黄秀旺

二次函数是初中数学的重点内容之一，每年全国各地的中考试卷中都会出现以二次函数为背景的解答题，其综合性较强，难度较高.其中，有些问题借助抛物线上一个点或两个点，讨论三角形或四边形的形状或图形之间的关系，此时可以“拿掉”抛物线，似有“假二次函数问题”之嫌；还有一类问题，将抛物线的“轴对称性”与几何图形（轴对称图形）的“轴对称性”相结合，其构思巧妙又不失自然与合理，将函数图像与几何图形因轴对称之缘而“牵手”，凸显抛物线的轴对称性，渗透数形结合、几何直观的数学思想方法.解决此类问题就是要将图像的对称性与图形的对称性结合起来，从对称性的角度进行推理，发现新结论.

一、好题赏析

例1如图1，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（1，0）、B（4，0）、C（0，3）三点.

（1）求抛物线的解析式.

（2）如图1，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得PA+PC最小？若存在，求出PA+PC的最小值；若不存在，请说明理由.

分析：（1）设抛物线的解析式为y=a（x－1）（x－4），把C（0，3）代入得a·（－1）·（－4）=3，解得，所以抛物线的解析式为，即

图1

图2

解：（1）略.

（2）存在.因为A（1，0）、B（4，0），所以抛物线的对称轴为直线

连接BC交直线于点P，如图2，则PA=PB，PA+PC=PC+PB=BC，此时PC+PA最短，因为所以PA+PC的最小值为5.

拓展1：如图2，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得四边形PAOC的周长最小？若存在，求出四边形PAOC周长的最小值；若不存在，请说明理由.

拓展2：如图2，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得抛物线的对称轴平分∠CPB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

点评：例1中的第（2）小题是典型的“将军饮马”问题，通常我们需要作点A关于一条直线的对称点；……