张茜 周浩 张金鹏 曹有亮

摘要： 针对推力矢量控制的空空导弹敏捷转弯问题， 根据推力矢量控制的特点， 建立推力矢量控制力学模型； 由于敏捷转弯姿态角变化范围大， 为避免欧拉角导致的奇异问题， 用四元数法建立导弹的六自由度运动方程。 以转弯时间最短为指标， 以推力角为控制量， 以导弹姿态和速度方向均達到指定角度为终端约束条件， 建立敏捷转弯最优控制问题模型。 以某使用推力矢量控制的空空导弹敏捷转弯为例， 用伪谱法求解其最短时间内完成转弯所需的推力矢量控制， 得到满足约束要求的最优弹道和推力角变化规律。

关键词： 空空导弹； 敏捷转弯； 推力矢量控制； 六自由度； 伪谱法； 弹道优化

中图分类号： TJ765.3文献标识码： A文章编号： 1673-5048（2018）02-0016-05

0引言

在近距格斗中， 导弹可通过越肩发射技术实现对后方目标的攻击， 该技术已成为空空导弹的关键技术之一。 [1]越肩发射的导弹首先需要完成敏捷转弯的过程， 在这一过程中， 导弹会经历大攻角阶段， 无法仅依靠气动力实现转弯， 一般通过推力矢量控制或反作用喷气控制产生导弹所需的动力， 使导弹能够在短时间内转弯[2]。 其中推力矢量控制已广泛应用于战术导弹， 在近距格斗中具有明显优势[3]， 本文以推力矢量控制的空空导弹为对象， 研究其敏捷转弯过程的制导与控制问题。

国内外对该问题已有诸多研究， 文献[4-6]给出了导弹转弯的最优推力矢量控制规律， 但均是基于三自由度模型进行仿真。 文献[7]中求解弹道导弹的推力矢量控制律， 用欧拉角表示姿态动力学方程， 由于欧拉角的奇异问题， 使得该方法只能在有限姿态变化范围内应用。 文献[8]设计了导弹敏捷转弯的自动驾驶仪， 但未给出最优推力矢量控制律。 本文以导弹六自由度模型为基础， 用伪谱法求解推力矢量控制下的敏捷转弯最优控制， 得到的结果在实际应用中适用性更强。

1推力矢量控制

推力矢量控制（TVC）是一种可以为飞行器提供推力， 同时提供使飞行器转动的力矩的控制技术， 主要通过控制发动机主推力与弹体纵轴的夹角来产生控制力矩[9]。 实现推力矢量的机构有许多种， 如可转动喷管、 燃气/液体侧向喷射、 燃气片、 燃气舵等[10]。 其中， 燃气舵的控制系统结构简单、 重量尺寸较小， 且技术成熟、 摆动速率高， 相比其他类型的机构， 更适用于空空导弹。

推力矢量控制所产生的力和力矩可以由推力和推力角来表示， 见图1。 推力可表示为在弹体坐标系下的三个分量（式）， 相应的力矩为

收稿日期： 2017-10-10

基金项目： 航空科学基金项目（20150151002）

作者简介： 张茜（1993-）， 女， 吉林四平人， 硕士研究生， 研究方向是弹道优化设计、 导弹制导与控制。

引用格式： 张茜， 周浩， 张金鹏， 等. 推力矢量控制空空导弹敏捷转弯弹道优化[ J]. 航空兵器， 2018（ 2）： 16-20.

Zhang Qian， Zhou Hao， Zhang Jinpeng， et al. Agile Turn Trajectory Optimization of AirtoAir Missile with Thrust Vector Control [ J]. Aero Weaponry， 2018（ 2）： 16-20.（ in Chinese）

Pxt=Pcosαpcos βp

Pyt=Psinαp

Pzt=Pcosαpsin βp （1）

MP， yt=PcosαpsinαpL

MP， zt=-PsinαpL （2）

式中： αp， βp分别为推力倾角和推力偏角； L为推力作用点到导弹质心的距离； P为主发动机推力。 需要指出的是， 由于燃料的消耗， 导弹质心的位置会发生变化， 因此L是随时间变化的。 在导弹飞行过程中， P大小不变， 方向变化用αp， βp表示。

图1推力矢量控制

Fig.1Thrust vector control

2导弹六自由度运动方程

六自由度模型需要考虑姿态角变化， 空空导弹在敏捷转弯的过程中， 姿态角变化范围大， 若用欧拉角表示姿态运动， 可能会出现奇异现象， 因此须使用四元数来描述姿态变化。

2.1质心动力学方程

建立在弹体坐标系的质心动力学方程[11]：

V·xt

V·yt

V·zt=Pxt

Pyt

Pzt+Atq-X

Y

Z+Atd0

-G

0·1m+

ω×Vt （3）

式中： Vxt， Vyt， Vzt， Pxt， Pyt， Pzt为速度和推力在弹体坐标系下的分量； X， Y， Z为气动力； 气动力系数通过文献[2]中给出的经验公式以及datcom的计算结果求得； Atd为用四元数表示的地面坐标系到弹体坐标系的转换矩阵； Atq为用攻角和侧滑角表示的气流坐标系到弹体坐标系的转换矩阵， 限制攻角和侧滑角在转弯过程中不大于90°， 因此可由下列公式直接求得：

α=-arctanVytVxt （4）

β=arctanVztV （5）

2.2质心运动学方程

质心运动学方程建立在地面坐标系， 因此需要给出速度在地面坐标系下的分量， 通过一次坐标转换可得：

x·d

y·d

z·d=Vxd

Vyd

Vzd=AdtVxt

Vyt

Vzt （6）

式中： Adt为用四元数表示的弹体坐标系到地面坐标系的转换矩阵， 与Atd有如下关系：

Adt=AtTd（7）

2.3姿態运动方程

航空兵器2018年第2期张茜， 等： 推力矢量控制空空导弹敏捷转弯弹道优化导弹的姿态动力学方程为

ω·x

ω·y

ω·z=[Mx-（Jz-Jy）ωyωz]/Jx

[My-（Jx-Jz）ωzωx]/Jy

[Mz-（Jy-Jx）ωxωy]/Jz （8）

姿态运动学方程用四元数表示：

q·0

q·1

q·2

q·3=120-ωx-ωy-ωz

ωx0ωz-ωy

ωy-ωz0ωx

ωzωy-ωx0q0

q1

q2

q3 （9）

式（9）中积分初值可由四元数与欧拉角之间的转换关系确定， 设俯仰角、 偏航角、 滚转角初始值分别为0， ψ0， γ0， 则四元数初始值为[12]

q00=cosψ02cos02cosγ02-sinψ02sin02sinγ02

q10=cosψ02cos02sinγ02+sinψ02sin02cosγ02

q20=sinψ02cos02cosγ02+cosψ02sin02sinγ02

q30=cosψ02sin02cosγ02-sinψ02cos02sinγ02 （10）

3基于TVC的敏捷转弯最优控制问题

3.1最优控制问题建模

导弹通过转弯实现对后方目标的攻击， 为避免目标机动而导致的目标丢失， 导弹须尽快完成敏捷转弯过程， 因此敏捷转弯最优控制问题就是求得使导弹在最短时间内实现转弯的推力角变化规律。

由导弹的六自由度运动方程可知， 敏捷转弯最优控制问题的状态量如下： q0， q1， q2， q3； ωx， ωy， ωz； Vxt， Vyt， Vzt； xd， yd， zd。 这13个状态量的微分方程可由式（3）、 式（6）、 式（8）和式（10）表示。

对于推力矢量控制的空空导弹， 由于发动机推力大小不变， 敏捷转弯的过程通过改变推力角αp， βp实现。 受推力矢量燃气舵的结构限制， 其产生的推力角不大于9°。 由于推力角较小， 推力在弹体轴向会有较大的分量， 若在初始时刻即开启发动机， 在推力作用下， 导弹速度会增大， 不利于减速转弯。 因此， 考虑将转弯过程分为两段： 第一段， 发动机未开启， 导弹处于无控状态， 在空气阻力作用下减速； 第二段， 发动机开启， 导弹在推力矢量作用下完成转弯。 设第一段结束时间为t1f， 则控制量αp， βp取值范围为

αp（t）=0， βp（t）=0， 0≤t

αp（t）≤9°， βp（t）≤9°， t≥t1f （11）

敏捷转弯的性能指标为转弯时间最短， 此外， 为使得到的推力角变化平滑， 在性能指标中以推力角变化率的平方和为积分项， 可得性能泛函如下：

J[u（t）]=tf+∫tf0α·2p（t） +β·2p（t）dt （12）

转弯完成的标志为导弹弹头指向与速度方向一致， 并均达到指定角度， 即偏航角和俯仰角达到指定角度ψf， f， 攻角和侧滑角均达到0°。 姿态角的终值可由四元数表示， 攻角和侧滑角为0°这一条件可由Vyt， Vzt表示， 由此可得终端约束条件为

2（q1fq2f+q0fq3f）=sinf

-2（q1fq3f-q0fq2f）q20f+q21f-q22f-q23f=tanψf

Vzt（tf）=0 （13）

基于六自由度模型的空空导弹敏捷转弯最优控制问题十分复杂， 用传统的数值算法难以求解。 近年来， 伪谱法逐渐发展成熟， 该方法求解最优控制问题精度高、 效率高， 适用于求解复杂的非线性动态最优控制问题[13]。 本文用基于Radau伪谱法的GPOPSⅡ进行仿真计算， Radau伪谱法的配点为LegendreGaussRadau（LGR）点， 在配点处离散得到的非线性规划问题的KKT条件与原最优控制问题的一阶必要条件的离散形式一致， 且Radau伪谱法结构比Gauss伪谱简单， 收敛速度更快， 在仿真计算中有明显的优势[14]。

GPOPSⅡ一般包含以下三个函数： main函数、 continuous函数以及endpoint函数， 根据推力矢量控制的空空导弹敏捷转弯最优控制问题的数学模型， 用GPOPSⅡ求解该最优控制问题需要输入以下几个部分：

（1） 每一段的初始时间和终止时间的上下限；

（2） 各个状态量、 控制量在各段的初值、 过程中的值以及终值的上下限；

（3） 导弹敏捷转弯的运动方程；

（4） 性能指标；

（5） 用状态量表示的终端约束条件；

（6） 为保证两段之间状态量是连续的， 还应给出段与段之间的约束条件， 即第一段状态量终值与第二段状态量初值之差为0。

其中（1）～（2）在main函数中给出， （3）在continuous函数中给出， （4）～（6）在endpoint函数中给出。

3.2仿真结果

以某使用推力矢量控制的空空导弹为例， 其主要参数如表1所示[15]。

表1导弹主要参数

Table 1Main parameters of the missile参数数值初始质量/kg75 总长度/m3.02弹径/m0.127发动机推力/kN10.98推进剂流量/（kg/s ）4.9 发动机总工作时间/s4.9

导弹的初始速度为272 m/s， 初始高度为3 000 m， 初始姿态角均为0°， 导弹需要在最短时间内转弯至俯仰角/弹道倾角为35°、 偏航角/弹道偏角为-150°。 此外， 要求导弹完成转弯时的速度不小于204 m/s， 由于约束Vyt和Vzt 的终值为0， 因此在GPOPSⅡ中， 可在main函数中限制状态量Vxt的终值下限为204 m/s。

用伪谱法求得的结果见图2～9。 导弹在1.10 s时开启发动机， 总转弯时间为3.24 s。 图2为弹道轨迹； 图3为导弹速度变化曲线， 导弹在转弯过程中， 经历了大幅减速的过程， 在2.94 s内， 速度由最初的272 m/s减小到181 m/s， 有利于速度方向的改变， 导弹转弯结束时速度为204 m/s， 达到了约束要求； 图4～6分别为俯仰角和弹道倾角、 偏航角和弹道偏角、 攻角和侧滑角的变化曲线， 可见， 导弹在转弯过程中， 导弹姿态变化比速度方向变化快， 在转弯后期， 逐渐将姿态调整至速度方向（即攻角、 侧滑角最终为0°）， 导弹在转弯过程中， 最大攻角约为55°； 图7为过载变化曲线， 导弹在转弯过程中， 承受的最大法向过载达到28 g， 可见导弹在转弯过程中须承受很大过载， 对导弹的结构要求很高。 图8～9为推力角变化曲线。图2弹道轨迹

Fig.2Trajectory图3速度曲线

Fig.3Speed profile图4俯仰角和弹道倾角曲线

Fig.4Pitch angle profile and trajectory tilt

angle profile 图5偏航角和弹道偏角曲线

Fig.5Yaw angle profile and trajectory

deflection angle profile图6攻角和侧滑角曲线

Fig.6Angle of attack profile and sideslip

angle profile图7过载曲线

Fig.7Overload profile圖8推力倾角曲线

Fig.8Thrust tilt angle profile图9推力偏角曲线

Fig.9Thrust deflection angle profile由仿真结果可见， 导弹在最短时间内完成转弯， 姿态和速度方向达到了指定的角度， 求得的推力角的变化平滑， 易于实现。

4结论

本文研究了基于推力矢量控制的空空导弹敏捷转弯问题， 给出了一种推力矢量控制的力学模型， 并建立了空空导弹的六自由度运动方程。 分析了敏捷转弯最优推力矢量控制问题， 建立最优控制模型， 用伪谱法求解导弹在最短时间内转弯至指定角度的推力角变化规律。 以导弹转弯至俯仰角/弹道倾角为35°、 偏航角/弹道偏角为-150°为例进行仿真计算， 仿真结果表明， 基于上述方法建立的模型可以用伪谱法有效求解空空导弹敏捷转弯最优控制问题， 得到满足要求的最优弹道和最优推力矢量控制。

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Agile Turn Trajectory Optimization of AirtoAir Missile

with Thrust Vector Control

Zhang Qian1， Zhou Hao1， Zhang Jinpeng2， 3， Cao Youliang2

（1. School of Astronautics， Beihang University， Beijing 100083， China；

2.China Airborne Missile Academy， Luoyang 471009， China；

3.Aviation Key Laboratory of Science and Technology on Airborne Guided Weapons， Luoyang 471009， China）

Abstract： Aiming at the agile turn of airtoair missile with thrust vector control （TVC）， according to the features of TVC， a mechanical model of TVC is founded. The attitude angles vary in a wide range during agile turn， therefore it is required to establish six degree of freedom dynamics model by quaternion in order to avoid singularity caused by Euler angles. Taking the timeminimal as performance index， the thrust angles as control variables， and the attitude angles and the orientation of the missile velocity as terminal constraints， the model of optimal control problem of agile turn is established. Pseudospectral method is applied to solve the optimal control for agile turn of a missile with TVC， and the optimal trajectory and the changing rule of the thrust angles meeting requirements are obtained.

Key words： airtoair missile； agile turn； thrust vector control（TVC）； six degree of freedom； pseudospectral method； trajectory optimization1Polarization； interference rejection； phased array radar