汤灿琴 杨晓春

【摘要】本文通过一道例题对函数幂级数展开的直接法和间接法进行比较，提出了教师在教学过程中应注意比较两种方法的微小区别。

【关键词】幂级数展开 皮亚诺型余项 拉格朗日型余项

【中图分类号】G642.1 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）12-0128-02

Reflections on Teaching Caused by an Exercise of Power Series Tang Canqin

Tang Canqin， Yang Xiaochun.（Mathematical Department， Dalian Maritime University， Liaoning Dalian 116026， China）

【Abstract】The function of power series expansion of direct and indirect methods through an example are compared in this paper， and then proposed teachers should pay attention to the difference between the two methods in the teaching process.

【Key words】Power series expansion；Piano remainder；Lagrange remainder

一、引言

幂级数是函数项级数的一种特殊情形，是数学分析中的重要概念之一，它作为基本内容被运用到复变函数、实变函数等后续课程当中。巧妙地应用幂级数展开及其相关性质，可以将实际应用中复杂问题简单化。实际上，工程中许多问题最后都归结为微分方程或积分方程的求解，而幂级数解法是解决这类方程问题的最有效的方法之一，幂级数展式的精确度对后续问题的研究也就产生了较大影响。因此幂级数展开是数学分析教学中着重讲授的一个重要内容[1]。

二、函数的泰勒展开

通常在介绍泰勒公式时，主讲教师会引导学生推出函数在处的泰勒展开式，即此时的幂级数展开。而由平移的性质，只须要求学生记住几个基本函数的麦克劳林级数（即函数在处的幂级数展开式），如等，并应用它们推出其他函数的麦克劳林公式[1-2]。下面是一个相关的课后习题。

例：求函数的阶泰勒公式。

情况1 按皮亚诺型余项展开

解法1 （直接法）

设函数，则 而

我们有从而

其中为的高阶无穷小量。

解法2（间接法）

因为，从而

情况2 按拉格朗日型余项展开

解法1 （直接法）

设函数，则而

我们有从而

其中介于与0之间。

解法2 （间接法）