张 宇

GPS技术在测绘工程领域有着广泛的应用，目前在工程测量中采用GPS技术建立工程控制网已成为最主要的手段之一。工程控制网是直接服务于大比例尺测图和施工测量的，其所提供的距离应尽可能的与实测距离保证一致。我国《工程测量规范》中，要求长度综合变形不超过2.5 cm/km，这样可以使国家统一坐标成果直接运用于工程建设中。但实际测量工作中，经常遇到测区长度综合变形超过2.5 cm/km，在这些地区进行工程测量时，直接采用国家统一坐标系统成果，控制点间边长往往与实测距离有较大差值，使国家统一坐标系统成果不能直接运用于工程建设。这种情况下，建立适合工程范围的独立坐标系使长度综合变形在允许范围内，保证控制点间边长与实测距离尽可能的一致，使平面坐标成果可以直接服务于工程建设中，就显得十分有必要了。

1 长度变形分析

地面观测长度归算到参考椭球面上产生的变形和参考椭球面上的边长归算到高斯投影面产生的变形，是长度变形产生的原因。

把高斯投影平面上的长度与地面观测长度的差值，称为长度综合变形：

式（1）中，δ为长度综合变形，ym为端点间平均横坐标，R为测区中心的平均曲率半径，Hm为长度所在高程面对于椭球面的高差，RA为边长所在方向的椭球曲率半径，s为地面观测长度。

取 R≈RA≈6371 km，S≈s，则式（1）可写成下式：

式中，y表示测区中心的横坐标，H表示测区平均高程，y与H均以km为单位。

式（2）可以看出，长度综合变形与测区中心横坐标和测区平均高程有关。

2 独立坐标系的建立方法

通常建立独立坐标系有三种方法，分别为：选择“抵偿高程面”作为投影面；选择“任意投影带”；选择通过测区中心的子午线作为新建独立坐标系的中央子午线，平均高程面作为投影面。

2.1 选择“抵偿高程面”作为投影面

由公式（1）可以看出，将地面观测值归算至参考椭球面，长度是变小的；将参考椭球面上观测值归算至高斯投影面上时，长度是变大的。两个归算过程能够相互抵消，若选择一个最恰当的参考椭球参数，使得地面观测值归算至参考椭球面的减小的值与参考椭球面上观测值归算至高斯投影面上增加的值相等，那么长度综合变形就能完全抵消。这个最恰当参考椭球面，就是抵偿高程面。

为了完全抵消长度综合变形，令δ=0，由式（1）可以得到：

取 R≈RA≈6371 km，S≈s，则：

利用式（4）可以计算出抵偿高程面，确定新的参考椭球参数。

2.2 选择“任意投影带”

通过将中央子午线移动恰当位置，使得测区在新投影带内，地面观测值归算至参考椭球面的变形与参考椭球面上观测值归算至高斯投影面上的变形相等，从而消除长度综合变形在控制测量中的影响，使得高斯投影平面上控制点间边长与实测值保持一致。

这种通过移动中央子午线重新建立坐标系，抵偿长度综合变形的投影带就是任意投影带。运用这种方法建立坐标系时，它的参考椭球与原参考椭球是相同的。

令 δ=0，由式（1），可以得到

式（5）可以看出，将中央子午线西移至距测区中心为ym的位置，可以消除测区中心的长度综合变形。

2.3 选择平均高程面作为投影面，通过测区中心的子午线作为中央子午线

这是前两种方法的一种结合体，就是既移动中央子午线，又选择投影面。与前两者的区别在于，它将新建立坐标系的中央子午线选在了测区中心，将投影面选在了测区平均高程面。有时候也可以将测区平均高程面再下移一点作为投影面。

这种坐标系的建立方法因其简单有效的特点，在工程测量中应用广泛。其实质是保证测区中心y≈0处，H≈0，从而使δ=0。

令 ym=0，由式（1）可以得到：

因δ/S≤1/40000，则Hm最大为159 m，即平均高程面最大下移高度。

同理，因 δ/S≤1/40000，取 R=RA=6371 km，由式（1）得到

可以看出，选择平均高程面作为投影面，通过测区中心的子午线作为中央子午线，建立的平面坐标系能够满足长度综合变形的范围为：2ym最大≈127 km。

由文献[1]知道，第三种方法抵偿范围最大。

2.4 新椭球参数的求取及坐标转换

采用第1种和第3种建立独立坐标系的方法，都改变了参考椭球投影面高程，因此必须要重新计算新椭球参数。

计算新椭球参数时，新椭球与原椭球相似，长半径a和短半径b变化，但扁率f及偏心率e不变。原椭球面上控制点的大地坐标转换到新的椭球面上，大地经度不变，但大地纬度改变[2]。

设测区平均纬度为Bm，对应的椭球测区平均半径为Rm，新选椭球面至原椭球面高程为H，对应新选椭球测区平均半径为Rx，新选椭球长、短半径分别为ax、bx。参考文献[2]有以下公式：

设控制点的大地坐标在原椭球上为（B，L），在新选椭球上为（Bx，Lx）, 参考文献[2]有下列公式：

式中，M为子午圈曲率半径；N为卯酉圈曲率半径，；W为第一基本纬度函数

3 工程实例数据分析

3.1 测区概况

渭河下游部分河段概略位置为东经 108°40′～110°18′，北纬34°19′～34°40′，东西长度约 208 km，海拔高程约 300～360 m。采用GPS技术建立该区域的平面控制网，坐标系统为2000国家大地坐标系。

3.2 长度变形分析

测区横跨3°投影带的36、37带，在第36、37带的边缘处，长度综合变形最大。以36、37带的交界处经度109°30′、纬度34°30′、测区平均大地高330 m，计算测区中心的长度变形情况。由式（1）得，

可见，在测区中心（即3°投影带的第36、37带交界处）投影变形较大，无法满足长度综合变形的容许范围，故不能直接采用国家3°带统一坐标。由于测区较长，需要采用分区投影的方法建立独立坐标系统。

3.3 独立坐标系建立方法

测区基本在3°带第36、37带之间，且测区两端距离第36带中央子午线108°子午线、第37带中央子午线111°子午线基本一致，将测区平均分为两个分区。本文只说明36带范围内独立坐标系的建立方法。

首先确定36带范围内测区中心位置为经度109°05′，纬度34°26′，测区平均大地高为 340 m。

由式（9），测区平均曲率半径Rm=6370387.464 m。

由式（1），得：

可以看出测区中心投影变形仍然较大，无法满足长度综合变形的容许范围，不能直接采用国家统一坐标。

由上可知，采用选择平均高程面作为投影面，通过测区中心的子午线作为中央子午线建立独立坐标系时，平均高程面最大下移高度159 m时，独立坐标系满足投影变形的范围最大，满足中央子午线左右范围内63.5 km的区域，合计范围为127 km。故将投影面选为340 m-159 m=181 m。

综上，以测区中心经度109°05′为中央子午线，投影高程面为181 m建立独立坐标系。

3.4 新椭球的参数的计算

通过式（8）-（12）计算新椭球的参数：

3.5 将国家控制点从国家统一坐标成果转换至独立坐标系统成果

表1为测区附近的国家控制点平面坐标。国家控制点名称及坐标均经过相关保密处理。

表1 国家等级控制点成果

通过高斯反算计算出原椭球下的大地坐标，再通过式（13）～（15）计算出国家控制点大地纬度的变化量及其新的大地纬度，最后计算出以上国家控制点在新建独立坐标系下的平面直角坐标。表2为国家控制点在独立坐标系中的平面坐标。

以国家控制点在独立坐标系下的平面直角坐标为起算点，对外业观测数据进行平差，得到独立坐标系的平面坐标。表3为部分控制点平面坐标。

表2 国家控制点在独立坐标系中的平面坐标（中央子午线为109°05′，投影高程面为181 m）

表3 部分控制点平面坐标（中央子午线为109°05′，投影高程面为181m）

为检验独立坐标系是否满足长度综合变形容许数值要求，采用拓普康3002LNC全站仪（标称精度±2 mm+2 ppm×D）对表3中控制点进行了边长检测，检测结果见表4。

表4 实测边长与平差结果对比情况

可以看出测区内控制点间实测边长与平差成果边长差值满足长度综合变形容许数值1/40000要求，建立的独立坐标系能够满足实际工程建设需要。

4 结语

（1）建立工程控制网时，首先通过长度变形分析来确定是否需要建立独立坐标系。若需要建立独立坐标系时，要根据测区的实际情况来选择最简单、有效的减少长度综合变形的方法来建立独立坐标系。

（2）当改变参考椭球投影面高程时，必须要重新确定新椭球参数，这也是建立独立坐标系的重点。

[1]冯林刚.GPS测量控制网纳入独立坐标系的方法[J].地矿测绘，2000（3）：6-8.

[2]董鸿闻，李国智，陈士银，等.地理空间定位基准及其应用[M].北京：测绘出版社，2004.

[3]银志敏，王军，马全明，等.城市轨道交通工程平面控制测量坐标系统投影面转换方法的应用研究[J].测绘通报，2015（5）：109-112.

[4]张凤举，张华海，赵长胜，孟鲁闽，卢秀山编著.控制测量学[M].北京：煤炭工业出版社，1999.

[5]杨国清主编.控制测量学（第2版）[M].郑州：黄河水利出版社，2010.

[6]孔祥元，郭际明主编.控制测量学（第三版）[M].武汉：武汉大学出版社，2007.