戴杏冰

摘 要 离散型随机变量的概率分布是近年高考命题的热点，高三一次模拟考的统计概率题目学生完成情况不理想，针对这一类型的问题，学生遇到的困难，本文将从离散型概念的理解，概率在决策问题中的应用和数学阅读能力的培养等方面进行阐述，让学生更好掌握此类问题。

关键词 离散型随机变量 散型随机变量均值 决策 数学阅读

中图分类号：G633.6 文献标识码：A

从近年来的高考命题热点分析来看，比较热门的是离散性随机变量的概率分布，从具体的命题来看，范围主要在期望与方差以及其运用，此类试题主要强调的是应用性，在构建相关数学模型时，依据的背景是实际的问题，主要是为了能够对学生的数据处理与运用意识进行考查。为了深入探讨该类问题，本文引用了以下例题在学生中进行进一步的研究，具体例题如下：在一次高三的模拟考试中，考察了下面的试题：

（2014年湖北高考 改编）计划今年在某水库中建造一座水电（最多放置3台放电机），在查阅过去50年的相关水文资料发现，该水库的年流量为X均在40亿立方米以上，其中，年流量低于80亿立方米的有10年；但超过80亿立方米但低于120亿立方米的有35年，而超过120亿立方米的只有5年。现以这三段作为相应的概率，并假设各年的年入流量相互独立.

（1）求在未来4年中，至多1年的年入流量超过120的概率；

（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量限制，并有如下关系；

若某台发电机运行，则该台发电机年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台发电机年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？

本题以实际问题为背景，考察考生对随机变量分布列概念的理解及其确定方法，以及对随机变量数学期望概念的理解和应用。在实际阅卷情况并没达到預期目标，第一问学生基本完成，第二问则完成情况得不理想。笔者对学生的答题情况作了分析并抽取部分学生进行访谈，发现学生对统计概率的相关概念理解薄弱，每当问题的背景变得稍微复杂，学生就会无从下手。基于以上类型情况，笔者就此类题目进行如下的根源探析。

1（离散型）随机变量含义的正确理解

随机变量的定义：如果对于试验的样本空间 中的每一个样本点 ，变量X都有一个确定的实数值与之对应，则变量X是样本点 的实函数，记作X=X（ ）。我们称这样的变量X为随机变量。

从随机变量的具体分析来看，其教学的内容相对比较简单，一般只涉及两方面的内容，即概率论和数理统计。但是从实际应用来看，其会涉及许多学生所不具备的基础知识，所以单就随机变量而言，其表现出了抽象性和孤立性。为了在教学的过程中使学生对实验结果的数量化认知更加的自然，让学生对随机变量引入的简洁性进行感受十分的必要。就教材内容来看，抛掷骰子的点数，产品检验中次品的件数等都是与之相关的内容。通过大量实例的分析，引导学生逐步理解随机变量的含义。有些老师因为课时紧张，匆匆带过，忽略学生知识形成过程。教材中提到“在研究随机现象时，需要根据所关心的问题恰当地定义随机变量”。如何了解这句话？什么为之恰当？教材安排电灯泡的使用寿命的例子，如果我们仅仅关心电灯泡的使用寿命是否不少于1000小时，那么就可以定义如下的随机变量： ，如果规定寿命在500小时以上的灯泡为一等品；寿命在1000小时到1500小时之间的为二等品；寿命在1000小时之下的为不合格品.如果我们关心灯泡是否为合格品，应该如何定义随机变量？如果我们关心灯泡是否为一等品或二等品，应该如何定为义随机变量？如果我们关心灯泡的使用寿命，应该如何定义随机变量？通过对问题的发散，训练学生根据实际问题需要恰当地定义随机变量的能力，一个好的例子胜过一千次说教。

例题中，根据题意，水库安装的发动机台数为1，2，3三种情况，但安装的发电机不一定能发动，随机变量年利润是由发动的发电机决定的，进一步发电机能否发动是由年流入量决定的。所以这三种情况的年利润由年流入量决定，但考虑年流量的角度不同。若安装一台发电机，水库年入流量都在40以上，则发电机全部发动；若安装两台发电机，则要考虑发动一台的情况和发动两台的情况，年流入量80以下发动一台，80以上发动两台，80是个临界点；若安装三台发电机，则要考虑发动一台、两台和三台情况，年流入量80以下发动一台，年流入量80以上120以下发动两台，年流入量120以上发动三台。根据安装发电机台数不同，定义随机变量年利润不同。

2离散型随机变量均值在决策问题的应用

离散型随机变量均值“是离散型随机变量取值的平均水平”。这里“平均水平”的含义可从两种角度来理解：第一种从定义的角度，随机变量是以概率为权的加权平均；第二种是从样本（或观测）的角度，随机变量的均值是该随机变量的多次独立观测值的算术平均值（当观测次数趋于无穷时）的极限，即由独立观测组成的随机样本平均值（当样本容量趋于无穷时）的极限。在实际应用中，特别是在决策中，第二种理解作为我们利用均值解决实际问题的重要依据。普通高中课程标准实验教材书数学（A版）选修2-3第二章2.3例3是一个典型的决策问题，教学中应突破让学生了解为什么用平均损失最小的原则来决策，逐层递进，让学生有利用均值解决生活中决策问题的思想。例题讲述是气象情况不确定，有多种情况发生，选用哪个方案好。如果气象情况确定，选用哪个方案确定，由于气象情况不同，选用的方案不同。而随机变量的均值是该随机变量的多次独立观测值的算术平均值，它反映了离散型随机变量取值的平均水平。因此我们可以用平均损失最小的原则来保证在遭受到多次损失的情况下，各次损失的平均值接近于最小。教材例3与例题有着异曲同工的效果，只不过选择方案换成选择安装多少台发动机，都是决策性问题，都需要用均值解决。考题中明确说明利润均值最大，如果题目删除此句，考生应该也有均值思想。

3不可忽视的数学阅读能力

从近年来的高考分析来看，其对于学生阅读的要求在不断的提升，考察学生阅读理解能力的题目也在显著的增多。对于此类题目，要进行解决，最有效的办法就是对题目当中的各类信息进行把握，然后综合上下文的内容分析出可利用的条件，这样，看似没有条件的题目才能够得到有效的解决。简言之，阅读能力的强化和分析能力的加强，对于解决阅读类题目帮助巨大。而就此类题目的具体分析来看，其具有四个顯著的特点：第一，构思较为新颖；第二，综合性较强；第三，知识面较为广泛；第四，信息量较大。学生看到大段的题目时心里瞬间涌起抗拒的情绪，未审题就望而却步，为其贴上了“难题”的标签。基于题目特点，老师在具体的时候，要对学生的阅读能力进行强化培养，这样才能让学生在面对阅读类题目的时候能够准确理解和分析，进而获得有效的讯息。

就现阶段的数学教学分析来看，教科书在教学活动当中的主体地位十分的明显，一方面，其是老师教学基础依据，另一方面，其是学生获取知识的主要材料，而且就教科书的具体分析来看，其还具备的思想性和科学性。数学教科书不仅能够充实学生的基本技能，还能将生活中的一些实事融入进教材中，通过与实际的结合来渗透科学思想，所以说，教科书在具备科学性的基础上也对学生的心里顺序进行了考虑。再者，教科书的利用对于学生的阅读能力培养也有着吉吉的意义，因此说，数学教科书的综合性价值显著。从目前的教学分析来看，由于教师在教学中，过于重视教材的研读，忽视了教科书的重要性，所以在教学开展中，老师所遵循的一般模式是先领导学生做具体内容的分析，然后才进行教科书的阅读与了解，这种教学模式的即时性效果显著，但是学生自己体会教科书的在有效性却大打折扣。如果长期遵循这样教学模式，学生自我阅读和理解教科书的机会会越来越少，这对于学生自主学习能力的提升和阅读理解能力的培养十分的不利。基于上述问题的考虑，老师在教学开展的时候对课堂做合理的安排，既留给学生自主阅读教材的时间，又可以通过教学串联实现旧知识的回顾和新知识的开启。在这样的串联教学中，教学效果会获得循环式上升。总而言之，通过课堂的科学构建，留给学生自我阅读教材的时间，这样，其自主学习可以得到培养和强化。

参考文献

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[4] 吕佐良.点击高考数学中的概率问题[J].试题与研究，2014（01）.

[5] 李伟.关于新课程中重视数学阅读的思考[J].安徽教育学院学报，2005（05）.