王俊

教材里“认识概率”这一章介绍了概率的两种计算方法：一是用列举法来求概率；二是用频率来估计概率.这其实就是数学史上概率的古典定义和统计定义.

一、概率的古典定義

古典定义中的“古典”表明了这种定义起源的古老.它源于赌博、博弈等多种多样的形式，但是它的前提是“公平”，即“机会均等”，而这正是古典定义适用的重要条件：同等可能.16世纪意大利数学家卡尔丹（1501—1576）所说的“诚实的骰子”就道明了这一点.在之后约三百年的时间里，帕斯卡、费马、伯努利等数学家都在古典概率的计算、公式推导和扩大应用等方面做了重要的工作.直到1812年，法国数学家拉普拉斯（1749—1827）在《概率的分析理论》中给出了概率的古典定义：事件A的概率等于一次试验中有利于事件A的可能结果数与该事件中所有可能结果数之比.古典定义通过简单明了的方式定义了事件的概率，并给出了简单可行的算法.

二、概率的统计定义

概率的古典定义虽然简单直观，但是适用范围有限.正如伯努利所说：“这种方法仅适用于极罕见的现象.”因此，他通过观察来确定结果数目的比例，并且认为“即使是没受过教育和训练的人，凭天生的直觉，也会清楚地知道，观测的次数越多，发生错误的风险就越小”.虽然原理简单，但是其科学证明并不简单，在古典概型下，伯努利证实了这一点，即“当试验次数愈来愈大时，频率接近概率”.

事实上，这不仅仅对于古典概型适用，人们确信……