王俊

教材里“认识概率”这一章介绍了概率的两种计算方法：一是用列举法来求概率；二是用频率来估计概率.这其实就是数学史上概率的古典定义和统计定义.

一、概率的古典定義

古典定义中的“古典”表明了这种定义起源的古老.它源于赌博、博弈等多种多样的形式，但是它的前提是“公平”，即“机会均等”，而这正是古典定义适用的重要条件：同等可能.16世纪意大利数学家卡尔丹（1501—1576）所说的“诚实的骰子”就道明了这一点.在之后约三百年的时间里，帕斯卡、费马、伯努利等数学家都在古典概率的计算、公式推导和扩大应用等方面做了重要的工作.直到1812年，法国数学家拉普拉斯（1749—1827）在《概率的分析理论》中给出了概率的古典定义：事件A的概率等于一次试验中有利于事件A的可能结果数与该事件中所有可能结果数之比.古典定义通过简单明了的方式定义了事件的概率，并给出了简单可行的算法.

二、概率的统计定义

概率的古典定义虽然简单直观，但是适用范围有限.正如伯努利所说：“这种方法仅适用于极罕见的现象.”因此，他通过观察来确定结果数目的比例，并且认为“即使是没受过教育和训练的人，凭天生的直觉，也会清楚地知道，观测的次数越多，发生错误的风险就越小”.虽然原理简单，但是其科学证明并不简单，在古典概型下，伯努利证实了这一点，即“当试验次数愈来愈大时，频率接近概率”.

事实上，这不仅仅对于古典概型适用，人们确信“从现实中观察的频率稳定性”是一个普遍规律.1919年，德国数学家冯·米塞斯（1883—1953）在《概率论基础研究》一书中提出了概率的统计定义：在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，某个事件出现的频率总是在一个固定数值的附近摆动，显示出一定的稳定性.他把这个固定的数值定义为这一个事件的概率.虽然统计定义不能像古典定义那样确切地算出概率，但是却给出了一个估计概率的方法.而且，它不再需要“等可能”的条件，因此，从应用的角度来讲，它的适用范围更广.

三、有趣的概率问题

概率是数学学习里实用性很强的内容.不论是今天的趣味数学题里的基础题目还是大学里的统计学，都会用到概率的内容.下面有一道趣味数学题，大家不妨来试一试！

两个人出相同的钱玩掷双骰子的游戏，约定谁先掷出5次“双6”谁就获得所有的钱.经过一段时间的游戏，甲掷出了4次“双6”，乙掷出了3次“双6”，但是此时甲、乙两人不想再继续这个游戏，请问钱应该怎么分配才公平？

甲获得总额的[3/4]，乙获得总额的[1/4].注意到两点：（1）甲、乙双方掷出“双6”的概率均为[1/36]；（2）如果掷出的不是“双6”，则这对双方都没有影响.此题目和下面的题目是一样的：两人玩游戏约定谁先赢5次谁就赢走所有的钱，输赢概率一样.经过一段时间后，甲赢了4次，乙赢了3次，如果现在终止游戏，赌资怎么分配才合理？

显然，通过以上趣味实例，我们可以发现古典概率应用范围较为广泛，但在计算中，有些情况不容易将其全面考虑，会出现多算、漏算的错误.总之，采用什么方法进行解题，取决于实际的题目背景，然后再巧妙灵活地运用合适的方法.

（作者单位：江苏省无锡市新吴实验中学）