中学常见绝对值问题解法的探析

2018-06-05

新教育时代电子杂志(教师版) 2018年14期

（岳阳市第七中学湖南岳阳 414000）

关于中学常见的绝对值问题，包括绝对值定义运用问题、一元一次绝对值不等式问题、一次绝对值函数问题、一元一次绝对值方程问题等，针对这些问题，本文分别给出了对应问题的解法，同时为便于理解，本文进行了例题分析。因此，本文对中学常见绝对值问题解法进行深入研究，具有重要意义。[1]

一、绝对值的几何意义

IaI的几何意义为：在数轴中，表示原点O和点a之间的距离。Ia-bI的几何意义为：在数轴中，点a和点b之间的距离。针对一些问题，如果采用绝对值的几何意义来进行解决，更为简单、直观，能够快速解决问题。[2]

二、一元一次绝对值方程的解法

（1）针对Ia+bI=c（a≠0）型的绝对值方程，其解法为：

②当c＜0时，将绝对值的非负性作为依据，则可以获知该方程是无解的；

②当c=0时，原方程变为Iax+bI=0，即ax+b=0，则

③当c＞0时，原方程变为ax+b=c或ax+b=-c，

解得或者。

例1：求解I2x+3I=5

解：根据（1）可得，由于5＞0，则原方程可以变形为2x+3=5或者2x+3=-5，解得x=1或者x=-4。

（2）针对Iax+bI=cx+d（ac≠0）型的绝对值方程，其解法为：

①将绝对值的非负性作为主要依据，可得cx+d≥0，进而能够将x的取值范围计算出来；

②将绝对值的定义作为主要依据，能够将原方程进行转型，变为两个方程，即ax+b=cx+d和ax+b=-（cx+d）；

③对方程ax+b=cx+d和ax+b=-（cx+d）分别进行求解；

④将计算出来的解，代入cx+d≧0中，对其进行检验，将不合条件的解进行舍去。

例2：解方程：I4x+3I=2x+9

解：根据（2）可得，将绝对值的定义作为主要依据，对原方程进行变型，变为两个方程：4x+3=2x+9和4x+3=-（2x+9）；分别解得x=3和x=-2；通过检验后，其结果都是成立的。

（3）针对Iax+b=Icx+dI（ac≠0）型的绝对值方程，其解法为：

①将绝对值的定义作为主要依据，对原方程进行变型，变为ax+b=cx+d或者ax+b=-（cx+d）；

②对方程ax+b=cx+d和ax+b=-（cx+d）分别进行求解。

例3：求解I2x-1I=I3x+1I。

解：根据（3）可得，将绝对值的定义作为主要依据，对原方程进行变型，变为两个方程，即：2x-1=3x+1或者2x-1=-（3x+1）I3x+1I；分别解得x=-2和x=0。

（4）针对Ix-aI+Ix-bI=c（a＜b）型的绝对值方程，其解法为：

①将绝对值的几何意义作为主要一种，可得Ix-aI+Ix-bI≧Ia-bI；

②当Ia-bI=c时，方程的解为a≤x≤b；当Ia-bI＞c时，此时方程是没有解的；

当Ia-bI＜c时，具有两种情况，即：

①当x＞b时，原方程的解为

②当x＜a时，原方程的解为

例4：求解Ix-1I+Ix-3I=4+-=

解：根据（4）可得，I2-1I＜4能够划分为两种情况，即：

①当x＜1时，原方程的解为x=0；②当x＞3时，原方程的解为x=4。

三、一元一次绝对值不等式的解法

将绝对值符号去掉，使不等式转型为没有绝对值符号的一般不等式，然后，和对不等式组或者一般不等式的解法一样，对以上不等式进行求解，这就是对含有绝对值符号的不等式求解的主要思路。对绝对值不等式进行求解，转化是关键。将绝对值的意义作为主要依据，对绝对值不等式进行有效转化，使其变为一次不等式。

（1）针对不等式IxI＜a（a＞0），其解集为｛xI-a＜x＜a｝；[3]

不等式IxI＞a（a＞0），其解集为｛xIx＞a或x＜-a｝。

将不等式IxI＜c和IxI＞c（c＞0）中的x进行替换，使其变为ax＋b，便能够获得Iax+bI＞c（c＞0）和Iax+bI＜c（c＞0）型的不等式的解法。

（2）Iax+bI＞c（c＞0）的解法为：首先对不等式组ax+b＞c或者ax+b＜-c进行求解，然后根据不等式的性质，对原不等式的解集进行求解。

Iax+bI＜c（c＞0）的具体解法为：首先对不等式组-c＜ax+b＜c进行求解，然后根据不等式的性质，对原不等式的解集进行求解。

例6：对I2x-3I＞4进行求解。

解：根据I2x-3I＞4，可得2x-3＞4或者2x-3＜-4，

然后得到

因此，原不等式解集为

（3）在对Iax+bI＞c（c＞0）与Iax+bI＜c（c＞0）型不等式进行求解时，必须要注

意a是正数还是负数。当a是负数时，可先将a变为正数以后，再进行求解。

例7：求解I1-2xI＜5

根据题意得，-5＜1-2x＜5，则-2＜x＜3。

因此，原不等式的解集是｛x|-5/2＜x＜11/2｝.

（5）含由绝对值的双向不等式的解法：将绝对值号去掉是关键。

例8：求解2＜I2x-5I≤7

（6）对含有多重绝对值符号的不等式进行求解时，可由外及内的顺序进行求解，对绝对值不等式类型的解题方法进行不断重复运用，将绝对值符号去掉，对其进行一一化解.

例9：求解Ix-I2x+1II＞1

解：根据Ix-I2x+1II＞1可得，x-I2x+1I＞1或者x-I2x+1I＜-1

（1）根据x-I2x+1I＞1可得，x-1＞I2x+1I

（2）根据x-I2x+1I＜-1可得，x+1＜I2x+1I

四、一次绝对值函数的求解方法

在中学阶段，一次绝对值函数问题大致可以划分为4种类型，即：其一，函数图象；其二，解析式；其三，值域；其四，定义域。经过分类讨论后，将绝对值号去除，这是一次绝对值函数问题求解的关键。其中，令绝对值内的式子为0是分类标准，进而能够将数轴划分为若干段，便能够进行讨论了，然后将函数解析式写出来，对相应函数图像进行画出来，则问题便会变得清晰、明朗。

例10：求解y=Ix+2I-Ix-5I，同时将定义域和值域写出来。[4]

解：y=Ix+2I-Ix-5I，先分别令x+2=0，x-5=0，可得x=-2，x=5。此时，把数轴划分为3大段，即：①当x＜-2时，x+2＜0，x-5＜0，因此y=-（x+2）-（-（x-5））=-7；

②当-2≤x≤5时，x+2＞0，x-5＜0，则y=（x+2）+（x-5））=2x-3；

③当x＞5时，x+2＞0，x-5＞0，则y=（x+2）-（x-5））=7;