福建省厦门双十中学漳州校区 余望鸿

类型一：高次方程化为一元二次方程

例1 解方程

解析：此方程次数较高，且方程左边比较复杂，如果直接展开，运算量会很大，而且高次方程也很难求出它的根，所以需要对方程变形，转化为我们熟知的方程进行求解。

既然展开比较困难，则可利用整体思想和换元思想，将括号内整体替换，得到一个关于的一元二次方程。具体解答过程如下：

令，代入原方程，得：化简得：。

则有

可解得原方程的解为：

例2 解方程

解析：原方程左边是4个多项式相乘，不适合全部展开，可以考虑将4个式子两两合并，得：

观察这两项的特点，然后可以令则，原方程可变为：。整理得，解得

（2）当，

解得

即原方程的根为

类型二：分式方程化为一元二次方程

例3 解方程

解析：方程左边是两项的平方和，此特点只有在完全平方公式中存在，再观察方程右边括号内为如果将其平方，就会出现方程左边的式子，因此可设移项得那么原方程可变形为解得

所以，

可解得原方程的解为

例4 解方程

解析：方程左边两个分式比较复杂，且为异分母，如果利用通分来求解，则运算量很大。将第二个分式的分子提取因数2后，发现其恰好为第一个因式的倒数，因此可利用整体换元思想，将方程大大简化。

解析：此根式方程比较复杂，必须先对根式里面的因式进行处理，然后再根据式子特点进行适当的换元，求解步骤如下：

解析：本题是一道含有绝对值的二次方程，可以根据分类讨论思想将绝对值符号去掉，然后再分别求出方程的解，也可以不去掉绝对值符号，把它当成一元二次方程来求解。由于所以可将方程变形为很显然，这是一个关于的一元二次方程，可利用分解因式法得

解得

原方程的解为

对于以上四类广义一元二次方程的分析使我们明白，很多常见的方程，如果用常规的方法来求解，会很困难或求不出，但是通过适当变换转化成一元二次方程，则可以比较容易求出。这其中渗透了某些数学思想，也体现了一元二次方程的一种重要应用。