周正学 李 晖 薛鹏程 吴怀帅 陈姝瑶

1.东北大学机械工程与自动化学院，沈阳，110819 2.东北大学理学院，沈阳，110819

0 引言

纤维增强复合薄壳相对于金属薄壳，具有质量小、耐腐蚀、绝缘性好等特点，被越来越多地应用于航空航天、船舶、海洋工程、石油化工、兵器制造以及核工业等重要领域［1］。纤维增强复合薄壳通常处于一端约束的悬臂边界条件下，如航空发动机的机匣、复合鼓筒、复合雷达罩等［2］。复合薄壳的振动问题突出，容易产生共振、疲劳和损伤等故障［3-6］。对悬臂边界下的纤维增强复合薄壳固有特性进行理论及实验验证的研究还不够完善，因此，研究悬臂边界下纤维增强复合薄壳的振动特性问题有着重要的工程及学术意义［7］。

固有特性是深入研究结构系统振动特性的基础，对理论分析、动态设计、故障诊断都有着重要的指导作用。长期以来，国内外学者在研究纤维增强复合材料薄壳的固有特性方面做了很多的工作，已经取得了阶段性的研究成果。AZARAFZA等［8］基于Love壳体理论，采用一阶剪切变形理论分析了简支边界下复合薄壁圆柱壳的固有特性问题。LI等［9］采用传递矩阵以及有限元法求解了悬臂状态下金属薄壁圆柱壳的固有特性问题，并通过实验测试对理论方法进行了验证。RIBEIRO［10］将薄壳理论和一阶剪切变形理论计算获得的固有频率，与有限元方法获得的结果进行了对比，结果表明一阶剪切变形理论的计算结果更加准确。HASHEMIAN等［11］通过理论解析的方法计算获得了复合实心薄圆柱壳和复合网状薄圆柱壳的固有频率，并采用有限元法对理论解析结果进行了验证，最后发现，尺寸及物理参数相同时，网壳的固有频率小于实心壳的固有频率。CHEN等［12］利用Navier-Stokes理论和Flügge薄壳理论，对带有阻尼层的复合薄壳的固有频率影响因素进行了分析，研究表明复合薄壳固有频率随涂层密度的增大而减小，随涂层弹性模量的增大而增大。宋旭圆［13］采用Rayleigh-Ritz法研究了简支边界条件下纤维增强复合薄壳的固有特性问题，发现纤维铺设角度的变化对复合壳体振动特性的影响呈明显的周期性。项爽［14］通过数值积分方法，分析了简支-简支、自由-简支两种边界条件下纤维增强复合薄壳的固有特性问题，发现随着厚径比的增大，简支-简支边界条件下复合薄壳的固有频率逐渐增大，而自由-简支边界条件下复合薄壳的固有频率却逐渐减小。李学斌［15］采用分离变量法和Flügge经典壳体理论，计算了正交各向异性圆柱壳在悬臂边界条件下的固有频率和模态振型，但仅获得了量纲一固有频率。戴亦俊［16］采用Donnell简化壳体理论，通过配点法计算了含有液体的复合薄壳的固有频率和模态振型，并将其与实验求得的频率进行比较，结果表明，复合壳内液体会使圆柱壳的固有频率下降，且含水量越大，其各阶固有频率越低。楼玲娜［17］利用Donnell壳体理论得出壳体振动方程，并研究了纤维增强复合薄壳在悬臂边界条件下的固有特性，但没有将计算结果与其他相关论文或实验进行对比验证。

虽然人们已对纤维增强复合薄壳的固有特性进行了深入研究，但上述研究工作绝大部分针对理想的边界条件，在悬臂状态下通过理论与实验相结合的方法对其固有特性进行研究的较少，且绝大多数文献得出的频率多为量纲一频率，并未得到实验数据验证。为此，有必要继续研究悬臂边界下该类型复合材料结构的固有特性。

本文对悬臂状态下纤维增强复合薄壳的固有频率和模态振型进行了计算及实验验证。在考虑纤维增强复合材料纤维方向影响的前提下，对纤维增强复合薄壳进行了理论建模，并采用正交多项式法来表示复合薄壳的振型函数，随后通过Ritz法对该类型复合薄壳的固有频率进行了求解。将计算获得的某阶固有频率对应的特征向量回代入振型函数 u(x,θ,t)、v(x,θ,t)和 w(x,θ,t)中，即可获得复合薄壳结构的某阶模态振型，重复以上步骤可获得复合薄壳的各阶固有频率。

1 固有特性理论计算

1.1 理论建模

所研究的纤维增强复合薄壳是由N层具有正交各向异性的纤维和基体材料组合而成的（图1）。首先，将复合薄壳的中面作为参考平面，建立XθZ坐标系。纤维方向与整体坐标系 X轴方向的夹角为 β，壳体长为 L，中面半径为R，壳体厚度为h，每一层位于Z坐标轴较低表面hk-1和较高表面hk之间，每层的厚度均相同。图1中，1代表纤维纵向，2代表纤维横向。假设纤维增强复合薄壳平行纤维方向的弹性模量为E1，垂直纤维方向的弹性模量为E2，1-2平面内的剪切弹性模量为G12，1方向作用应力引起1、2方向应变的泊松比为 μ1，2方向作用应力引起1、2方向应变的泊松比为 μ2。

图1 纤维增强复合薄壳理论模型Fig.1 The theoretical model of FRCS

根据板壳振动理论，将位移场写为

其中，u、v、w分别为壳内任意一点在 X、θ、Z三个方向的坐标位置；n为圆柱壳的周向波数；ω为复合材料层圆柱壳的固有圆频率；U(x)为 X方向的振型函数；V(x)为θ方向的振型函数；W(x)为Z方向的振型函数。

对于正交各向异性材料，平面应力状态主方向有下列关系：

当材料主轴与整体坐标系之间有一定夹角β时，用应力-应变转轴公式计算得到第k层壳体在整体坐标系下的应力-应变关系为

式中，βk为第k层薄壳的纤维方向与整体坐标系X轴的夹角。

薄壳振动的动能

其中，ρ为纤维增强复合薄壳的密度。

弹性体因受力变形而在结构内部产生应变和应力，所以使结构内部产生了变形势能。根据板壳振动理论假设，薄壁圆柱壳的应变能EU为

根据Love壳体理论，可得

纤维增强复合薄壳结构的薄膜刚度矩阵为

其中，第k层的较高表面、较低表面到参考平面的距离分别为Hk与 Hk-1。

将位移公式（式（1））和应力公式（式（3））代入式（4）、式（5），可以得到复合薄壳的动能和应变能：

1.2 Ritz法求解

由于解析法很难得到悬臂薄壳的精确解，故本文采用Ritz近似解法。根据Ritz法，中面位移为

其中，aM、bM、cM为系数；ψu(ξ)、ψv(ξ)、ψw(ξ)是满足几何边界条件与力学边界条件正交的Schmidt函数，ξ=x/L；T为通过Ritz法截取的项数。

本文通过对满足悬臂边界条件的多项式函数进行正交化处理，来获得一系列的正交多项式：

将式（10）代入式（8）、式（9），得到用待定参数aM、bM、cM表示的应变能和动能表达式，即可得到最大应变能 EUmax和最大动能 Ekmax的表达式。那么，能量方程为

采用Ritz法对式（11）进行求解，可以得到

由式（12）可得到由3个方程组成的方程组，将此方程组采用矩阵的表达，可以得到特征方程：

式中，K、M分别为结构系统的刚度矩阵和质量矩阵；q为特征向量，q=(aM,bM,cM)Τ。

此时，K、M中的元素是所有待定参数的系数。为保证式（13）有解，需要系数矩阵的行列式为0，即

最后，对式（14）进行求解可得到特征方程的特征值，此特征值即为复合薄壳的某阶次固有频率。通过改变圆柱壳的周向波数n，并重复式（10）～式（14）的步骤可依次获得各阶模态的固有频率。式（10）中，T的取值越大，固有频率计算结果就越精确，通常取T=8即可达到足够的精度。最后，将计算获得的某阶固有频率对应的特征向量代入振型函数 u(x,θ,t)、v(x,θ,t)和w(x,θ,t)，即可获得复合薄壳结构的某阶模态振型。反复将获得的不同阶次的固有频率代入式（13），可得到不同阶次固有频率对应的特征向量，将特征向量代入振型函数，就可依次获得所关注的全部振型。

2 固有特性求解流程

2.1 输入复合薄壳的几何参数和材料参数

给出纤维增强复合薄壳的长度、半径、厚度及每层纤维角度等几何参数。然后，输入纤维纵向和纤维横向的弹性模量、剪切模量、泊松比和密度等材料参数，为后续动能和应变能的计算做好准备。

2.2 计算获得最大动能

将位移（式（1））代入动能表达式（式（4）），得到用中面位移表示的动能的一般表达式，然后基于正交多项式法表示振型函数，并令表达式中的谐波分量 sin ωt=1，即可得到最大动能的表达式。

2.3 计算获得最大应变能

在考虑纤维方向与整体坐标系X轴方向夹角θ的基础上，首先利用应力-应变转轴公式计算获得每一层铺层的应力（式（3）），随后将应力、应变代入式（5）即可获得每一层对应的用中面位移表示的应变能。然后，将每一层的应变能进行叠加，即可得到总应变能表达式。最后采用正交多项式来表示振型函数，并将其代入总应变能表达式中，可求得最大应变能。

2.4 采用Ritz求解固有频率和模态振型

将上述步骤中计算获得的最大动能和最大应变能代入式（11），可以获得能量方程的表达式。根据Ritz法，将能量函数Π对所有待定参数求偏导，可以得到薄壳振动的特征方程（式（13）），对此特征方程求解特征值，可获得纤维增强复合薄壳的一阶固有频率，通过改变圆柱壳的周向波数n，并重复式（10）～式（14）的步骤可依次获得各阶模态的固有频率。最后将求得的固有频率对应的特征向量代入振型函数中，即可获得复合薄壳的全部振型。

3 实验验证

本文以T300碳纤维/环氧树脂基复合薄壳为研究对象，对其固有特性进行了测试，薄壳长度为150 mm，内半径为132.5 mm，厚度为3 mm，安装边半径为165 mm，安装边厚度为7 mm，密度ρ=1 570 kg/m3，纤维纵向弹性模量E1=134 GPa，纤维横向弹性模量E2=8.5 GPa，剪切模量G12=3.36 GPa，泊松比 μ1=0.30。该类型复合薄壳为对称正交铺设，即[±4512]，共有24层，且每一铺层具有相同的厚度和纤维体积分数。

本文研究的纤维增强复合薄壁圆柱壳的一端带有安装边，在圆环压板上拧紧12个M10螺栓来将复合圆柱壳固定到一个刚性和质量都很大的夹具平台上，夹具平台通过多组螺栓实现与振动台台面的刚性连接。固定12个M10螺栓时，采用对称安装的方式，即先安装两个相对的螺栓，并不完全拧紧，当12个螺栓全部采用对称安装的方式固定之后，再用定力矩扳手以70 N·m的力矩将其拧紧，以此来保证较好的悬臂约束效果。

为了验证本文所提出的悬臂边界下纤维增强复合薄壳固有频率计算方法的正确性，搭建了图2所示的实验系统来测试其固有频率和振型。采用多点激励单点响应测试的方法，对复合薄壳进行模态测试。

首先，建立其线框模型，并在模型上以每隔5°的间隔来设定锤击点。然后，分别在复合圆柱壳的上、中、下3个圆周位置进行锤击法模态实验，测点总数为216。实际测试时，通过PCB 208C03模态力锤对复合薄壳进行脉冲激励，使用Polytec PDV-100激光多普勒测振仪来获取其振动响应，同时利用LMS16通道数据采集仪来获得激励和响应信号。表1给出了测试获得的前8阶固有频率和振型。同时，为了便于比较，将通过MATLAB程序获得的复合薄壳固有频率的计算结果也列入表1，并对其误差进行了详细分析，表中的m、n分别为轴向半波数和周向波数。

图2 纤维增强复合薄壳固有特性测试系统Fig.2 Natural characteristic test system of FRCS

通过与实验结果进行对比可知，基于正交多项式法的纤维增强复合薄壳固有频率计算结果与实验结果之间的误差范围是2.2%～9.3%，处于误差允许的范围内，且计算振型也与测试振型结果吻合度很高，进而验证了所提出的固有特性计算方法的正确性，利用本文所提出计算方法可以较好地实现悬臂边界下该类型复合薄壳固有特性的分析与预测。固有频率的误差可能来自于理论建模和实验测试两个方面。理论误差包括在建模过

表1 计算和测试获得的纤维增强复合薄壳前8阶固有频率和模态振型Tab.1 The first 8 natural frequencies and modal shapes of FRCS obtained by calculation and test

程中没有考虑横向剪切应力、纤维排列不规则、界面缺陷、残余应力以及复合材料参数分散性的影响；实验过程中的诸多因素也会导致误差的产生，如测试时的边界条件（夹具夹紧程度）不准确、仪器灵敏度漂移、锤击点偏离、实验方法不当等造成的影响。

4 结论

（1）推导了具有k层纤维增强薄壳的应变能和动能，并计算了悬臂状态下纤维增强薄壳的固有频率和振型。

（2）给出了计算纤维增强复合薄壳固有特性的4个关键步骤：输入复合薄壳的几何参数和材料参数；获得复合薄壳的最大动能；获得复合薄壳的最大应变能；求解固有频率和振型。

（3）以TC300碳纤维/树脂复合薄壳为研究对象，计算获得了其固有频率和振型，并将其与测试结果进行了对比，固有频率误差范围是2.2%～9.3%，且计算振型也与测试振型结果吻合得很好，验证了理论计算方法的正确性。

［1］ 牛义，刘权利，常永乐，等.基于Ritz法的纤维增强复合薄板阻尼分析与预测［J］.中国工程机械学报，2016，14（2）：162-167.NIU Yi，LIU Quanli，CHANG Yongle，et al.Damping Analysis on Fiber-reinforced Composite Thin Plate on Ritz Method［J］.Chinese Journal of Construction Ma⁃chinery，2016，14（2）：162-167.

［2］ 崔海坡，温卫东.复合材料层合板冲击损伤影响因素分析［J］.中国机械工程，2008，19（5）：613-617.CUI Haipo，WEN Weidong.Influence Factor Analysis for Impact Damage of Composite Laminates［J］.China Mechannical Engineering，2008，19（5）：613-617.

［3］ QATU M S，SULLIVAN R W，WANG W.Recent Re⁃search Advances on the Dynamic Analysis of Compos⁃ite Shells：2000-2009［J］.Composite Structures，2010，93（1）：14-31.

［4］ 薛鹏程，李晖，常永乐，等.悬臂边界下纤维增强复合薄板固有频率计算及验证［J］.航空动力学报，2016，31（7）：1754-1760.XUE Pengcheng，LI Hui，CHANG Yongle，et al.Natu⁃ral Frequency Calculation and Validation of Fiber Re⁃inforced Composite Thin Plate under Cantilever Bound⁃ary［J］.Journal of Aerospace Power，2016，31（7）：1754-1760.

［5］ YOKOYAMA N O，DONADON M V，ALMEIDA S D.A Numerical Study on the Impact Resistance of Com⁃posite Shells Using an Energy Based Failure Model［J］.Composite Structures，2011，93（1）：142-152.

［6］ XU W，WAAS A M.A Novel Shell Element for Qua⁃si-static and Natural Frequency Analysis of Textile Composite Structures［J］.Journal of Applied Mechan⁃ics，2014，81（8）：081002.

［7］ SON B J，JI H S，CHANG S Y.A Study on Edge Rein⁃forcement Effect of Cylindrical Shells with Composite Laminate［J］.The Journal of the Korean Society for Ad⁃vanced Composite Structures，2012，3（2）：47-54.

［8］ AZARAFZA R，KHALILI S M R，JAFARI A A，et al.Analysis and Optimization of Laminated Composite Cir⁃cular Cylindrical Shell Subjected to Compressive Axial and Transverse Transient Dynamic Loads［J］.Thinwalled Structures，2009，47（8/9）：970-983.

［9］ LI H，SUN W，ZHAI J，et al.Precise Measurement of Natural Frequencies and Mode Shapes of Cantilever Thin Cylindrical Shell［J］.Journal of Vibration Engi⁃neering&Technologies，2015，3（4）：513-537.

［10］ RIBEIRO P.On the Influence of Membrane Inertia and Shear Deformation on the Geometrically Non-lin⁃earVibrations ofOpen， Cylindrical， Laminated Clamped Shells［J］.Composites Science&Technolo⁃gy，2009，69（2）：176-185.

［11］ HASHEMIAN A H，KARGARNOVIN M H，JAM J E.Accurate Calculation of the Natural Frequencies of Reticulated and Solid Cylindrical Composite Shells［J］.Applied Mechanics&Materials，2011，110/116：4598-4606.

［12］ CHEN H S，LI T Y，ZHU X，et al.Analysis of Natural Frequency of Free Damping Composite Cylindrical Shell Submerged in Viscous Fluids［J］.Materials Re⁃search Innovations，2015，18（2）：971-977.

［13］ 宋旭圆.层合薄壁圆柱壳结构的非线性振动特性研究［D］.大连：大连理工大学，2016.SONG Xuyuan.Nonlinear Vibration Characteristics of Laminated Thin-walled Cylindrical Shell［D］.Da⁃lian：Dalian University of Technology，2016.

［14］ 项爽.旋转功能梯度材料圆柱壳的振动特性研究［D］.河南科技大学，2013.XIANG Shuang.Free Vibration of Rotating Function⁃ally Graded Cylindrical Shells［D］.Luoyang：Henan University of Science and Technology，2013.

［15］ 李学斌.悬臂正交各向异性圆柱壳的自由振动分析［J］.舰船科学技术，2008，30（1）：41-44.LI Xuebin.Free Vibration of Cantilever Orthotropic Circular Cylindrical Shell［J］.Journal of Ship Science and Technology，2008，30（1）：41-44.

［16］ 戴亦俊.含液体分层复合材料薄壁圆柱壳振动分析［D］.沈阳：东北大学，2010.DAI Yijun.The Nonlinear Vibration Analysis of the Multi-layered Thin-cylindrical Shell Filled with Fluid［D］.Shenyang：Northeastern University，2010.

［17］ 楼玲娜.复合材料薄壁圆柱壳的非线性振动研究［D］.沈阳：东北大学，2009.LOU Linna.The Nonlinear Vibration Analysis of Composite Thin Cylindrical Shell［D］.Shenyang：Northeastern University，2009.