于 军 于德水

1.哈尔滨理工大学自动化学院，哈尔滨，150080 2.哈尔滨工业大学机电学院，哈尔滨，150001

0 引言

行星齿轮箱具有设计紧凑、传动比大和承载能力强等特点，广泛应用于风力发电机、车辆或直升机等设备的机械传动系统中［1-3］。然而，由于长期在高速重载等复杂恶劣工况下运行，行星齿轮箱极易出现各种故障［4］，从而造成设备停产，所以，行星齿轮箱的故障诊断具有十分重要的工程意义和应用价值。

近年来，行星齿轮箱的故障诊断已逐渐成为国内外研究的热点之一，许多方法已应用于行星齿轮箱的故障诊断中，如人工神经网络（artificial neural networks，ANNs）、证据理论（D-S evidence theory，DST）和支持向量机（support vector ma⁃chine，SVM）等。ANNs因其简单的结构，快速的训练过程和良好的扩展能力，已成功应用于行星齿轮箱的故障诊断中［5］，但其诊断过程难于理解，且较难确定其结构和参数。DST利用先验概率分配函数获得后验概率的证据区间，并量化命题的可信度与似然率，其最大特点是在证据中引入了不确定性；因此DST为行星齿轮箱的故障诊断提供了一种新的解决思路［6-7］。然而，在基于DST的故障诊断框架中，各命题的基本概率分配函数依然难以确定；在合成高度冲突的证据时，得到的故障诊断结果往往有悖常理。SVM已发展为非常有效的行星齿轮箱故障诊断方法［8-9］，它采用结构风险最小化原理，将低维数据映射到高维空间，通过最优超平面将数据分类，具有极高的推理准确性和良好的适应能力，且非常适合处理小样本数据，但其最优超平面确定过程需要较长时间，且依赖于操作者的经验并需反复实验。

流向图是由波兰学者PAWLAK［10］在2002年首次提出的一种新型知识表示和数据分析工具。它主要由节点、有向分支和流函数三部分组成。作为粗糙集理论的扩展，其特点在于有向分支简洁地描述信息的分布，具有直观的知识表示和存储特性，能够以图形化的方式描述决策过程。因此，流向图被广泛应用于知识表示、数据挖掘和模式识别［11］等领域。但流向图在机械故障诊断方面的应用还较少。

为此，本文提出了一种基于流向图的行星齿轮箱故障诊断方法。

1 流向图

1.1 流向图定义

流向图是一种有向、非循环图G=(N,B,ψ)，其中N为节点集，B⊆N×N为有向分支集，ψ：B→R+定义为流量，R+为非负实数集。若(x,y)∈B，那么 x是 y的输入节点，由 I(y)表示；y是x的输出节点，由O(x)表示。流向图G的输入和输出分别为 I(G)={x∈N|I(x)=Ø}和O(G)={x∈N|O(x)=Ø}。若分支 (x,y)∈B，那么 ψ(x,y)被称为从节点x到节点 y的流量。我们假设对于任意分支 (x,y)∈ B ，其流量 ψ(x,y)≠0［12］。

对于流向图G的每一个节点x，它的输入流量和输出流量分别为为标准化流向图，σ：B→［0，1］定义为流函数，对于 (x,y)∈B ，其流函数为σ(x,y)=ψ(x,y)/ψ(G)。对于流向图G中的每一节点，其流函数为 σ+(x)=ψ+(x)/ψ(G)=对于任一内部节点 x,σ+(x)=σ-(x)=σ(x)，其中σ(x)为节点 x 的流函数［13］。

1.2 流向图约简

流向图中节点间的联系可用路径来描述。设流向图G=(N,B,σ)，一条从节点 x到节点 y的有向路径定义为一系列相关联的节点x1，x2，…，xn，其中 x≠y，xi=x，xn=y，且1≤i≤n，此路径可表示为 (x,…,y)［13］。若路径 (x,…,y)的节点x和 y分别为流向图G的输入和输出节点，那么路径(x,…,y)为完整路径。

设流向图 G=(N,B,σ)，σ：B →［0，1］为流函数，C和D为征兆属性层集合和决策属性层，U为路径集合。如果C(p)→D(p)表示一条完整路径 p，其中 p∈U,C(p)=˄(a,v)，a∈C,d∈D,a(p)=v,d(p)=w ，那么 suppp(C,D)=|C(p)∩D(p)|为路径 p的支持度，其中|X|表示变量 X的基数。路径 p的一致性因子为γ(p)=suppp(C,D)/suppp(C)。流向图G的一致性因子为所有路径的一致性因子的集合［14］。

1.3 流向图分类决策

流向图是决策表直观的知识表示和知识获取工具。决策表中的每个实例均可由流向图中的完整路径表示。如果根据实例的条件属性值，利用挖掘出的决策知识识别出实例的决策属性值，那么便可实现流向图分类决策。完整路径是由相关节点构成的。这些相关节点间具有有向分支，所以完整路径的置信度定义如下［12］：

其中，card((c1(x),c2(x),…,cm(x),dj))表示满足路径属性值节点的实例数；card((c1(x),c2(x),…,cm(x)))表示满足路径条件部分节点的实例数。路径的置信度代表利用此路径进行分类决策的可靠程度。

路径的覆盖度定义如下［12］：

其中，card((dj))为满足路径决策部分节点的实例数。路径的覆盖度代表此路径在流过其决策属性节点的路径中所占的比重。

2 基于流向图的行星齿轮箱故障诊断方法

为使故障诊断过程更直观，本文提出基于流向图的行星齿轮箱故障诊断方法，该方法的流程见图1。首先，将提取的特征数据分为训练实例和待诊实例；然后，根据训练实例构建流向图；并根据流向图约简算法获得最简流向图；最后，根据流向图的分类决策算法获得待诊实例的故障类型。

图1 行星齿轮箱故障诊断方法Fig.1 Fault diagnosis method of planetary gearbox

2.1 流向图构建算法

流向图是决策表的一种图形化的表示工具，其节点和有向分支可直观地表示出属性值以及它们之间的联系，因此，将故障诊断决策表构建为流向图能更加直观地表示故障诊断信息。流向图的构建算法如下：

（1）构建流向图节点 N=NC∪ND，其中，NC为征兆属性节点集，ND为决策属性节点集；

（2）根据决策表中的决策规则从左至右依次连接各节点，从而形成有向分支集B；

（3）累计节点和有向分支的流过次数，获得节点流量ψ(x)和有向分支流量ψ(x,y)；

（4）计算节点流函数σ(x)和有向分支流函数σ(x,y)，并分别标记于节点下方和有向分支上方，获得标准化流向图G；

（5）计算有向分支 (x,y)∈B的置信度cer(x,y)和覆盖度cov(x,y)，并标记于有向分支上方。

2.2 流向图约简算法

对于最初构建的流向图而言，它一般包含大量不必要的征兆属性节点，这些节点会影响知识表示的复杂程度，降低分类效率，所以，有必要对构建的流向图进行节点约简。约简的目的是在保持流向图分类决策能力的前提下，去掉不必要的征兆属性节点，以简洁的形式表示属性之间的因果关系。流向图的约简算法如下：

（1）计算流向图G中所有路径的一致性因子γ；

（3）删除该征兆属性节点n，以及与它相连的有向分支B，构建新流向图G′；

（4）计算新流向图G′中所有路径的一致性因子 γ′；

（5）如果一致性因子 γ≤γ′，那么节点n可以删除，否则节点n不可删除；

（6）对其他征兆属性节点重复步骤（3）～步骤（5），直至最后一个征兆属性节点；

（7）删除所有可删除的征兆属性节点，获得最简流向图G″。

2.3 流向图分类决策算法

流向图中的置信度和覆盖度是对路径的定量刻画，路径的置信度越大，依据此路径做出的故障判断越可靠。当路径的覆盖度小于1时，表明由此路径判断的故障对应多种情况。可通过路径的置信度对实例进行分类决策，通过覆盖度对由路径做出的分类决策进行定量评价。流向图的分类决策算法如下：

（1）根据待诊实例的完整路径(ci(x),dj)，i=1，2，…，m，计算完整路径的置信度 cer(ci(x),dj)，j=1，2，…，n。

经过50 余年的开发，大港油田积累了海量的地震、钻井、测井、录井、修井、分析化验、开发动态数据，并且这类数据仍在规模增长。在低油价下，随劳动用工总量的减少，油藏综合研究和管理的工作量大幅度增加。

（2）根据置信度cer(ci(x),dj)的大小，确定待诊实例的故障类型。故障类型为最大的cer(ci(x),dj)的节点dj所表示的故障类型。

（3）计算完整路径的覆盖度，将完整路径的置信度和覆盖度用于分类决策的量化评价指标。

3 仿真信号分析

本文利用行星齿轮箱故障振动仿真信号验证本方法的有效性。故障振动仿真信号由调幅和调频两部分组成，模型简化为［15］

令调幅调频强度 E=0.6，F=0.05，啮合频率fm=(50 3)fg，采样频率为2 048 Hz，采样长度为204 800点。h(t)为局部故障的时变效应，随故障位置（太阳轮、行星轮、内齿圈）而变化［15］。

根据本文提出的行星齿轮箱故障诊断方法进行仿真信号分析。由于db8小波包三层分解的重构误差最小，因此本文采用db8小波包提取故障特征［11］。选取峭度、波形指标、峰值指标、裕度因数、脉冲指标、幅值谱幅值和作为行星齿轮箱的6个故障特征，并进行离散化处理。然后，将每种故障的样本分成100组，80组看作训练实例，20组看作待诊实例，利用训练实例进行流向图构建和约简。最后，利用约简后的流向图判断待诊实例的故障类型，准确率与训练实例数之间的关系见图2。待诊实例诊断准确率随训练实例数的增加而提高。当训练实例数大于200时，准确率趋于稳定，当训练实例数大于180时，待诊实例的诊断准确率依然很高。该方法可获得令人满意的诊断效果。

图2 准确率与训练实例数之间的关系Fig.2 Relationship between accuracy and training case number

4 实验验证

4.1 实验设备

本实验在哈尔滨理工大学研发的行星齿轮箱故障诊断试验台（图3）上进行。其中，可调速三相交流电机用作驱动装置，行星齿轮箱输入轴通过2个联轴器和1个短轴与三相交流电机的输出轴相连，负载电机通过联轴器与行星齿轮箱的输出轴相连。为了模拟行星齿轮箱的齿轮故障，分别在行星齿轮箱的太阳轮、行星轮和内齿圈上人为加工断齿故障。行星齿轮箱上方的加速度传感器用于采集行星齿轮箱的振动加速度信号，采样频率为5 120 Hz，采样长度为20 480点。三相交流电机的输出转速分别调节到75 r/min、150 r/min、300 r/min，实验中加入负载电机和不加入负载电机，据此模拟了6种不同的行星齿轮箱运行工况。每种运行工况采集8组样本，每种齿轮可获得48组样本，4种状态的行星齿轮箱可获得192组样本。

图3 行星齿轮箱故障诊断试验台Fig.3 Experimental platform for fault diagnosis of planetary gearbox

4.2 故障特征提取

本实验将利用db8小波包提取的峭度、波形指标、峰值指标、裕度因数、脉冲指标、幅值谱幅值和，这6个故障特征分别用符号 xq、K、O、L、P、Q表示。提取的故障特征为连续变量，所以需进行离散化处理。如图4所示，峭度值主要分布在3个区域内，即 xq（1）=［-0.5，0.5）、xq（2）=［0.5，1.3）、xq（3）=［1.3，1.8］。通过此离散化原理，另外5个故障特征的特征值能被分配到3～4个区域内，从而实现连续变量的离散化，降低计算复杂度。在离散化后，这6个故障特征形成故障征兆属性，用于判断行星齿轮箱的4种状态。决策属性值为行星齿轮箱的4种状态，并分别用符号N、F1、F2、F3表示。

图4 峭度值分布Fig.4 Kurtosis value distribution

4.3 结果与讨论

4种状态的行星齿轮箱一共可获得192组样本。本实验将其中的144组样本看作训练实例，将剩下的48组样本看作待诊实例。可根据流向图构建算法，利用故障特征提取后的训练实例构建行星齿轮箱故障诊断流向图，结果见图5。图中 xq、K、O、L、P、Q这6层表示行星齿轮箱的故障征兆属性，其中的每个节点表示1个故障征兆属性值。图5中D层表示行星齿轮箱的故障类型。征兆属性节点的流函数标于节点下方。

图5 行星齿轮箱故障诊断流向图Fig.5 Flow graph for fault diagnosis of planetary gearbox

图5 中包含大量不必要的征兆属性节点，因此采用流向图约简算法对行星齿轮箱故障诊断流向图进行约简，约简结果见图6。由图6可以看出，仅剩下5个故障征兆属性层和14个故障征兆属性节点，冗余或不相关的故障征兆属性节点被合理删除。

图6 约简后的行星齿轮箱故障诊断流向图Fig.6 Flow graph for fault diagnosis of planetary gearbox after reduction

约简后流向图的最小约简以路径的形式表示，见表1。表1是对故障诊断知识的直观表示和精炼概括，可作为行星齿轮箱故障诊断的重要依据。

表1 约简后流向图的最小约简Tab.1 Minimal reduct of flow graph after reduction

下面根据流向图分类决策算法对48组待诊实例进行诊断，验证算法的准确性。待诊实例的置信度和覆盖度见表2。由表2可以看出，置信度和覆盖度是对路径的定量描述。可根据路径置信度对待诊实例做出故障判断。行星齿轮箱分类决策结果见表3。由表3可看出，本文提出的故障诊断方法具有极高的准确率。行星齿轮箱4种状态的平均准确率分别达到93.75%、95.83%、95.83%和97.92%，因此，本文提出的故障诊断方法能够获得满意的诊断效果。

表2 待诊实例的置信度和覆盖度Tab.2 Certainty degree and coverage degree of test cases

表3 行星齿轮箱分类决策结果Tab.3 Classification decision results of planetary gearbox

为了进一步验证本文提出的故障诊断方法的效果，将该方法与人工神经网络（ANNs）和支持向量机（SVM）在准确率方面进行对比。训练与待诊实例数之比分别为2∶1、3∶1、5∶1，3种方法的平均准确率见图7。由图7可以看出，3种方法的平均准确率随样本数之比的提高而上升。当实例数之比为5∶1时，3种方法均获得最优的诊断效果。在3种实例数之比相等的情况下，本文提出的故障诊断方法的平均准确率均超过另外2种方法。该方法在准确率上优于另2种方法的原因在于，流向图约简是在保持分类决策能力的前提下，删除不必要的征兆属性节点，以简洁的形式表示节点间的因果关系，这样可排除冗余或不相关节点的干扰，减少分类决策过程中输入节点的数量，降低计算复杂度，提高故障诊断的准确率。

图7 3种方法的平均准确率Fig.7 Average accuracy of 3 methods

5 结论

（1）流向图是一种直观的知识表示工具，以节点的形式表示出属性值，可定量刻画信息流过节点和有向分支的强度，以及节点间的联系。与决策表相比，流向图的知识表达形式更加清晰，便于用户理解和分析。

（2）流向图约简算法是在保持流向图分类决策能力的前提下，去掉不必要的征兆属性节点，以简洁的形式表示属性之间的因果关系，减少分类决策过程中输入节点的数量，降低计算复杂度，提高运算效率和准确率。

（3）流向图分类决策算法通过路径的置信度对实例进行分类决策，通过覆盖度对由路径做出的分类决策进行定量评价，该决策算法的计算量较小，分类决策的策略清晰。

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