薛萍 王亚彬 姚娟 邹学州 高美

摘 要：针对在采用快速傅里叶变换分析电力谐波时，对信号非同步采样以及非整周期截断的情况下，会产生频谱泄露和栅栏效应，无法有效检测谐波的各参数值等问题，提出了加窗插值算法，能够提高计算精度抑制频谱泄露，Kaiser窗的频带内能量主要集中在主瓣中，拥有绝佳的旁瓣抑制性能，该算法充分利用峰值谱线频点最近的四条谱线进行加权运算提高运算精度，运用MATLAB多项式拟合推导出实用的插值修正公式。仿真结果表明，四谱线插值算法得到的21次谐波的幅值相对误差≤0.00001%，相位相对误差≤0.000001%，基波频率计算相对误差为6.2×10-11%，并且能够有效消除频谱泄露和栅栏效应的影响，计算精度更高。

关键词：谐波分析；Kaiser窗；四谱线插值；FFT

DOI：10.15938/j.jhust.2018.02.010

中图分类号： TM935

文献标志码： A

文章编号： 1007-2683（2018）02-0053-05

Abstract：When the Fast Fourier Transform （FFT）method is used to analyze the harmonics in a power network， the fast Fourier transform （FFT）can produce spectral leakage and fence effect under the situation of non-synchronized sampling and non-integral period truncation， which leads to a great error in the results of calculation. The window functions and interpolation algorithm can reduce spectral leakage and improve the accuracy of computation. By MATLAB data fitting， practical correction formulas corresponding to commonly used window functions are obtained by using weighted arithmetic of four pillars spectral line near the harmonic frequency point. The simulation and test results show that the relative errors of amplitude for 21 order harmonics are no more than 0.00001%， the relative errors of phrase collection for 21 order harmonics are no more than 0.000001%， and the relative errors of fundamental wave frequency are 6.2×10-11%. The algorithm can eliminate the influence of spectral leakage and fence effect effectively， improving the accuracy of harmonic analysis.

Keywords：harmonic analysis； Kaiser window； four-spectrum-line interpolation； FFT

0 引 言

在供配电网络中，存在着含有大量的非线性、冲击性负荷的电力电子设备，导致电网谐波污染越来越严重。为了维护电网的安全稳定运行，获得实时的电网质量参数，对谐波参数进行高精度的检测显得尤其重要。常用的谐波分析方法是快速傅里叶变换（FFT），在非同步采样时会产生频谱泄露和栅栏效应，影响谐波分析的精度。采用性能良好的窗函数可以有效抑制频谱泄露，对频域信号进行插值运算可减少栅栏效应引起的误差[1-2]。常用的窗函数有三角窗、Hanning窗[3]、Blackman-Harris窗[4]、Rife-Vincent窗[5]、Nuttall窗[6-7]等。在插值算法中，常用的有單谱线插值算法[8-9]，双谱线插值算法[10-14]，三次样条插值算法[15-16]，三谱线插值算法等高精度插值算法[17-19]。

传统的窗函数无法随意改变主旁瓣能量之间的比重，而Kaiser窗较为灵活[20]。本文对Kaiser窗的频谱特性进行分析，在双谱线插值和三谱线插值的基础上，提出了基于Kaiser窗四谱线插值FFT的电力谐波分析方法，同时为了计算的方便快捷，运用MATLAB多项式拟合推导出实用的插值修正公式，并对本文提出的算法进行了验证。

1 Kaiser窗特性

Kaiser窗由零阶贝塞尔函数构成，可自由选择主瓣宽度和旁瓣高度之间的比重，频带内能量主要集中在主瓣中，其时域表达式为：

图1（a）、（b）给出了β=[0，4，8，11]时Kaiser窗的时域和频域特性。由时域图形可见，当β=0时，Kaiser窗变为矩形窗函数，其旁瓣渐进衰减速率为6dB/oct，当β=8时，旁瓣峰值为-58.3dB，旁瓣渐进衰减速率为12dB/oct，随着β值的增大，旁瓣峰值继续下降，旁瓣渐进衰减速率增加。本文算法选择β=20。

2 基于Kaiser窗的四谱线插值算法

3 仿真验证及结果分析

3.1 简单信号分析

为验证基于Kaiser窗的四谱线插值算法的精确性，采用已被众多文献验证的无噪声信号模型，其表达式为：

本文选取Hanning窗、Kaiser窗双谱线、三谱线和四谱线（β=20，N=1024）进行仿真。

从表1数据可以看出，相比于Hanning窗、Kaiser双谱线、Kaiser三谱线，本文Kaiser窗四谱线插值算法具有良好的抑制频谱泄露的作用，并且精度更高。

3.2 利用复杂信号对算法进行的仿真验证

为了便于比较分析，本文采用了已被众多文献验证的包含21次谐波的复杂信号模型：

依次用Kaiser窗双谱线插值算法、三谱线插值算法和本文提出的四谱线插值算法对谐波信号进行处理（双谱线插值采用文[10]的修正公式及结果，三谱线插值采用文[17]提出的插值算法 ），仿真结果如表3、表4所示。其中表3为基波与各次谐波幅值的相对误差，最后一项为基波频率的相对误差；表4为基波与各次谐波相位的相对误差。

从表3、表4仿真结果可以看出，在其他条件相同且β=20的情况下，本文四谱线插值算法得到的21次谐波的幅值相对误差≤0.00001%，相位相对误差≤0.000001%，由于本文算法流程，只求一次基波频率，谐波频率根据基波频率的倍数求得，所以基波频率的精度非常重要，由表3可得双谱线、三谱线和四谱线基波频率计算相对误差分别为-1.4×10-9%、4×10-10%、6.2×10-11%，四谱线插值算法比双谱线和三谱线精确度更高。可见本文提出的Kaiser窗四谱线插值算法与双谱线和三谱线相比，由于提高了修正公式的精确度，从而显著的提高了谐波参数检测准确性。

4 结 论

由于Kaiser窗拥有绝佳的频谱泄露抑制效果，并且，四谱线插值较高的运算精度，本文提出了基于Kaiser窗四谱线插值FFT的电力谐波分析方法。并且为了计算方便，根据MATLAB多项式拟合求出了实用的插值修正公式。通过对简单信号和复杂信号在不同插值算法的仿真对比，结果表明本文所提算法在对采样数据进行非整周期截断情况下，与Kaiser窗的双谱线和三谱线插值算法相比，具有更高的计算准确度。

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（编辑：关 毅）