李 军， 林 秋 华， 王 凯， 康 春 玉， 杨 秀 庭

( 1.大连理工大学 电子信息与电气工程学部 信息与通信工程学院， 辽宁 大连 116024；2.海军大连舰艇学院 水武与防化系， 辽宁 大连 116018；3.大连东软信息学院 计算机科学与技术系， 辽宁 大连 116023 )

0 引 言

宽带线性调频(linear frequency modulation，LFM)信号在通信、雷达、声呐等领域有着广泛的应用[1-2]．与电磁波及其传播的大气环境相比，水下声波具有更低的传播速度和更加复杂的海洋传播环境．主动声呐探测脉冲如果采用LFM信号，会产生较大的多普勒频移进而导致匹配滤波严重失配，影响主动声呐的探测性能．因此，借鉴蝙蝠、海豚等生物的回声定位系统，主动声呐在定位过程中一般发射具有多普勒不变性的宽带双曲调频(hyperbolic frequency modulation，HFM)信号[3-5]．在海战场环境中，存在大量的HFM信号，水面舰艇或潜艇如何应用被动拖曳线列阵声呐实现对这些信号的识别、定位值得深入研究．

目标方向被动估计也被称为信号波达方向(direction of arrival，DOA)估计，由于不需要向外界发射信号，平台自身具有很好的隐蔽性．针对宽带调频信号的DOA估计问题一直是国内外研究的热点[6-12]．陶然等[6-8]根据分数阶傅里叶域LFM信号的高聚焦性，首先提出了基于分数阶傅里叶变换(fractional Fourier transform，FRFT)和多重信号分类(multiple signal classification，MUSIC)算法的LFM信号高分辨DOA估计方法(FRFT-MUSIC)，并在雷达信号DOA估计领域得到了大量的应用．Cui等[9]针对多途环境下LFM信号，结合FRFT和旋转不变技术(estimated by the signal parameters via rotation invariance technique，ESPRIT)提出了一种新的DOA估计方法(FRFT-ESPRIT)，实现了多途条件下宽带相干LFM信号DOA估计．Jin等[10]将FRFT和虚拟阵列变换相结合，解决了常规MUSIC 算法和ESPRIT算法中相干信号的发现问题．王瑞等[11]对FRFT-MUSIC算法中心频率估计进行了改进，提高了DOA估计精度．刘德亮等[12]提出了一种短快拍条件下LFM信号DOA估计方法，仅依靠少量快拍即可实现对LFM信号的高分辨率DOA估计．在水声信号处理中，陈艳丽等[13-14]研究了基于FRFT的水下LFM信号的检测和参数估计问题，李军等[15]应用FRFT实现了水声LFM信号的被动测向和测距．这些方法主要都是针对LFM信号进行信号参数和DOA估计．LFM与HFM信号都是调频信号，LFM信号频率呈线性变化，应用FRFT技术可实现较好的定位效果，然而HFM信号的频率呈非线性变化，直接应用FRFT技术进行DOA估计则会产生一定的误差，如何有效利用FRFT技术提高在声呐领域有着广泛应用的HFM信号DOA估计精度是一个亟待解决的问题．

针对宽带HFM信号的DOA估计问题，本文结合短时分数阶傅里叶变换(short-time fractional Fourier transform，STFRFT)的基本思想和MUSIC 算法提出一种基于STFRFT的宽带HFM信号DOA估计方法，简称STFRFT-MUSIC，并通过仿真实验，对本文方法的有效性进行验证．

1 基本理论

首先给出LFM、HFM信号的基本模型，推导两种信号初始频率、截止频率、中心频率和调频率之间的关系，并结合分段线性化思想用多个STLFM信号表示HFM信号，在此基础上建立均匀线列阵远场宽带HFM信号接收数据模型．

1.1 LFM信号模型

设fl、fh分别为LFM信号的初始频率和截止频率，μ为信号的调频率，T为周期，则LFM信号模型[1-2]为

s(t)=A(t)[exp(-jπ(2flt+μt2))]；t∈[0，T]

(1)

LFM信号的瞬时频率fsa(t)=fl+μt，LFM信号的初始频率、截止频率与调频率之间的关系为

fh=fl+μT，μ=(fh-fl)/T

(2)

1.2 HFM信号模型

设fz为HFM信号的中心频率，g为信号频率变化率，T为周期，则HFM信号模型[3-4]为

t∈[-T/2，T/2]

(3)

HFM信号的瞬时频率为

(4)

设fl=fsa(-T/2)，fh=fsa(T/2)分别为HFM信号的初始频率和截止频率，即

(5)

瞬时频率fsa(t)在fl和fh之间连续单调，服从双曲分布．HFM信号的带宽B=fh-fl．根据式(4)、(5)可以推导出HFM信号fl、fh、fz和g之间关系：

(6)

(7)

(8)

1.3 HFM信号阵列接收模型

设均匀线列阵声呐有M个阵元，间距为d，其中1号阵元为参考阵元．远场环境存在Q个宽带HFM信源，其阵列接收数据模型如图1所示．

图1 均匀线列阵声呐远场宽带HFM信号接 收模型Fig.1 The wideband HFM signal receiving model with uniform linear array sonar in far field

根据式(8)，第q个HFM信号用K个STLFM信号可以近似地表示为

q=1,2,…,Q

(9)

q=1，2，…,Q，k=1，2，…,K

(10)

设θq为第q个信号到均匀线列阵的入射角，c为声速，第q个信号到达第m个阵元时相对于参考阵元(1号阵元)的时延τqm为[6-7]

τqm=(m-1)dsinθq/c

(11)

则第m个阵元的接收信号时域表示形式为

m=1，2，…，M

(12)

X(t)=(X(1)(t)X(2)(t) …X(K)(t))

(13)

(14)

(15)

2 短时分数阶傅里叶域HFM信号DOA估计方法

本文利用短时分数阶傅里叶域HFM信号接收模型代替传统的阵列数据模型，将HFM信号时变阵列流形矩阵变换为多个短时固定的阵列流形矩阵，利用MUSIC算法实现多个HFM信号的高分辨DOA估计．

2.1 短时分数阶傅里叶域HFM信号接收模型

(16)

(17)

n=-(N-1)/2，…，0，…，(N-1)/2

(18)

(19)

(20)

f^(k)q

μ^(k)q

设(，)为第k时段STLFM信号的初始频率和调频率估计值，可由式(20)完成估计．

(21)

(22)

(23)

其中

(24)

(25)

(26)

选择分数阶傅里叶域Q个峰值点上的数据作为第m个阵元上的第k时段接收数据的分数阶傅里叶域输出：

(27)

阵列所有阵元接收信号的第k时段分数阶傅里叶域输出为

(28)

将K个时段的分数阶傅里叶域输出组合在一起就可以得到远场宽带HFM信号在分数阶傅里叶域的接收数据模型

X=(X(1)X(2)…X(K))

(29)

其中

X(k)=A(k)(θ)S(k)+N

(30)

(31)

2.2 HFM信号DOA估计方法

(32)

(33)

将各个时段信号得到的空间谱进行求和运算得到第q个HFM信号的STFRFT-MUSIC空间谱为

(34)

对上式进行最大值搜索，STFRFT-MUSIC空间谱Pq(θ)最大值对应的坐标θq即为第q个信号的DOA估计．

综上所述，给出本文提出的STFRFT-MUSIC 算法的具体实现步骤：

(8)重复(2)～(7)，分别得到第q个HFM信号在各个时段上的STFRFT-MUSIC空间谱．

(9)由式(34)得到第q个HFM信号对应的STFRFT-MUSIC空间谱Pq(θ)，极大值对应的方位角θmax为该信号DOA估计．

(10)如果有多个HFM信号，重复(2)～(9)，逐一得到每个信号对应的DOA估计．

3 仿真实验

为了验证本文方法的有效性，开展了3种仿真实验．首先，对LFM、HFM、STLFM信号的频谱分布情况进行了仿真研究；其次，以拖曳线列阵为背景仿真研究了传统FRFT-MUSIC方法和本文STFRFT-MUSIC方法对HFM信号频谱和DOA估计的性能；最后，重点分析了时域分段数、信噪比和目标方位等对算法性能的影响．

3.1 HFM与STLFM信号频谱分析

设主动声呐信号的脉冲宽度T=1 s，初始频率fl=1 kHz、截止频率fh=2 kHz，LFM信号与HFM信号频谱分布见图2，LFM信号的频率特性呈线性单调递增，而HFM信号的频率特性呈非线性单调递增．如果将HFM信号在时域分别等分成2、5、10段，每一段信号都用一个STLFM信号来代替，新的多段STLFM信号的频谱分布见图2，可以看出，随着时域分段数的逐步增加，用多个STLFM信号来近似表示HFM信号是可行的．

图2 LFM信号和HFM信号的频谱Fig.2 The spectrum of LFM signal and HFM signal

3.2 时域分段与频率估计分析

仿真实验中，原始信号采用上节仿真中的HFM信号，线列阵阵元数M=100，阵元间距d=0.2 m，声速c=1 500 m/s，采样频率fs=48 kHz，目标位于0°，方位扫描步长0.01°，噪声为信噪比为-3 dB的加性高斯白噪声．

根据本文所提出的方法，首先应该在时域对接收数据进行分段处理，本节重点研究具体的分段数对算法性能的影响．根据式(19)和(20)，应用分数阶傅里叶变换可以实现对原始信号初始频率和调频率的估计，当时域信号不分段和分段数分别为2、5、10时，图3给出了本文方法对HFM信号频率分布的估计情况．当时域不分段时，就是基于FRFT方法对HFM信号进行参数估计，可以看出初始频率要远高于HFM信号的初始频率(1 kHz)，而截止频率要远低于HFM信号的截止频率(2 kHz)．当分段数为2时，频率参数的估计误差依然较大；当分段数增加到5时，频率参数的估计性能得到大幅的提高；当分段数增加到10时，对HFM信号的频率估计已经非常逼近原始信号．因此在后续的仿真过程中在时域将接收数据分成5段或10段来完成HFM信号的DOA估计．

图3 不同时域分段数条件下频率估计情况Fig.3 Frequency estimation under different time domain piecewise numbers

图4给出了分别应用FRFT-MUSIC和STFRFT-MUSIC方法对HFM目标信号进行DOA估计的空间谱，其中STFRFT-MUSIC-5和STFRFT-MUSIC-10分别表示在时域分成5段和10段进行DOA估计．可以看出由于STFRFT-MUSIC 方法在时域进行了分段处理，对HFM信号的参数估计比较准确，因此在后续的仿真实验中对HFM信号的DOA(θq)估计误差较小，随着分段数的增多主瓣宽度会逐渐变窄，旁瓣抑制效果也逐渐变好，与FRFT-MUSIC方法相比具有较高的方位分辨率和估计精度．

通过本节仿真可以看出虽然随着时域分段数的增加本文STFRFT-MUSIC方法的探测性能会逐步提高，在理论上随着时域分段数的无限增大STFRFT所估计出的HFM信号频率分布情况将无限逼近原始信号的频率分布情况，但这是建立在系统采样频率足够大的基础之上．在实际的主动声呐系统中，采样频率一般为固定值，随着分段数的增大，每段时长将随之减小，对应的采样点数也相应减少．由于海洋环境的复杂性和声传播多途效应的影响，较少的采样点数必然会影响STFRFT-MUSIC方法的估计性能，因此在实际使用过程中时域分段数不宜过高．由于涉及时域的分段，STFRFT-MUSIC方法对于脉冲宽度较小、频率变化不大的近程主动声呐不具备优势，而对于脉冲宽度大于0.5 s、频率变化率范围大于0.5 kHz的远程低频主动声呐则具有明显优势．

图4 STFRFT-MUSIC与FRFT-MUSIC空间谱Fig.4 The spatial spectrum of STFRFT-MUSIC and FRFT-MUSIC

3.3 信噪比对算法性能的影响

本节采用蒙特卡罗仿真分析方法研究信噪比和目标方位对算法性能的影响，应用均方根误差(estimated root mean-square error，erms)来评价算法DOA估计性能：

erms(θq)=1K∑Kk=1(θq-θ^qk)2, q=1,2,…,Q

(35)

式中：θq为第q个HFM信号的真实方位，

θ^

qk为第k次仿真DOA估计值，K为蒙特卡罗仿真次数．

设HFM目标信号位于10°，其他仿真条件同上节，当信噪比从-20 dB变化到20 dB时，分别应用FRFT-MUSIC与STFRFT-MUSIC方法进行DOA估计，图5给出了不同信噪比Rsn条件下两种方法的DOA估计空间谱，图6给出了通过100次蒙特卡罗仿真后两种方法在不同信噪比下DOA估计的均方根误差曲线．

(a) FRFT-MUSIC

(b) STFRFT-MUSIC-5

(c) STFRFT-MUSIC-10

图5 两种方法在不同SNR条件下DOA估计

Fig.5 DOA estimation of two methods under different SNR

图6 不同信噪比条件下两种方法的均方 根误差曲线Fig.6 The RMSE curve of two methods under different SNR

可以看出，FRFT-MUSIC方法在信噪比高于-5 dB时能够对目标DOA进行有效估计，但始终存在系统误差；STFRFT-MUSIC-5和STFRFT-MUSIC-10分别在信噪比高于-10 dB和-15 dB时可对目标DOA进行有效估计，STFRFT-MUSIC方法的系统误差要远小于FRFT-MUSIC 方法，该系统误差随着时域分段数的增多而逐渐减小．

上述仿真是针对噪声为高斯白噪声的情况，下面考虑噪声为有色噪声情况，设噪声的能量主要分布在1.35～1.55 kHz，两种方法在该有色噪声干扰下DOA估计的均方根误差曲线如图7所示．

图7 有色噪声干扰下两种方法的均方根误差曲线Fig.7 The RMSE curve of two methods under colored noise

可以看出，有色噪声对STFRFT-MUSIC方法的影响有限，而对FRFT-MUSIC方法的影响则较大，这是由于STFRFT-MUSIC方法采用了时域分段处理．对于STFRFT-MUSIC-5方法而言，该有色噪声干扰的是第2、3时段信号，对其他3个时段信号的干扰不大；对于STFRFT-MUSIC-10 方法而言，其干扰的是第4、5、6段信号，对于其他7个时段信号的干扰不大．STFRFT-MUSIC 方法对于干扰频段内短时信号DOA估计性能较差，但对其他频段的短时信号DOA估计则较好，根据式(34)STFRFT-MUSIC方法最终的DOA估计结果是多个时段信号DOA估计结果的和，因此该有色噪声对STFRFT-MUSIC方法的影响有限．对于FRFT-MUSIC方法，由于没有在时域对信号进行分段处理，在DOA估计过程中将受有色噪声干扰的HFM信号作为一个整体进行参数的估计，噪声对其参数估计的影响较大，进而影响了DOA估计性能，因此本文方法的抗有色噪声干扰能力要高于FRFT-MUSIC方法．

3.4 目标方位对算法性能的影响

本节研究目标方位变化对算法性能的影响，基本仿真条件同上节，噪声为高斯白噪声，信噪比为-3 dB，设HFM目标信号方位从-90°变化到90°，图8给出了不同目标方位条件下两种方法的DOA估计空间谱，图9给出了通过100次蒙特卡罗仿真后两种方法在不同目标方位条件下DOA估计的均方根误差曲线．可以看出，两种方法对0°方向目标估计误差最小，随着目标方位角的增大，误差会逐渐增大，当目标方位角大于70°时DOA估计误差增大明显．在方位估计精度方面STFRFT-MUSIC-10最好，STFRFT-MUSIC-5次之，FRFT-MUSIC最差．

(a) FRFT-MUSIC

(b) STFRFT-MUSIC-5

(c) STFRFT-MUSIC-10

图8 两种方法在不同目标方位条件下DOA估计

Fig.8 DOA estimation of two methods under different target azimuth

图9 不同目标方位条件下两种方法的均方 根误差曲线Fig.9 The RMSE curve of two methods under different target azimuth

4 结 语

针对海战场环境中大量存在的宽带HFM信号DOA估计问题，本文结合短时分数阶傅里叶变换思想，提出了一种基于STFRFT的HFM信号DOA估计方法．通过仿真实验，对LFM、HFM、STLFM等信号的频谱进行了分析，研究了时域分段数、信噪比、目标方位等对算法性能的影响，对该方法的有效性进行了验证．与传统方法相比，本文方法具有较高的方位分辨率和估计精度，在被动拖曳线列阵声呐或多基地声呐系统中有着广泛的应用前景．

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