☉上海市七宝中学 童永健

2017年上海卷第12题的多种解法及推广

☉上海市七宝中学 童永健

2017年上海高考是上海市新高考“3+3”模式试验的元年，数学学科由原先的文理分科合并为一份试卷进行测试.虽对整体的题目数量和难易题比例有略微的调整，但试卷中仍不乏对学生综合考验的“能力题”，作为创新型问题的填空最后一题便有其“独具匠心”一面，其对学生短时间内的的探究能力和问题解决能力提出了较高的要求.深入思考，也能挖掘出一些考试中可能不曾看清的、问题背后的精彩之处.

一、注重探究，多视角剖析真题

试题 （2017年高考数学上海卷第12题）如图1所示，用35个正方形拼成一个矩形，点P1，P2，P3，P4以及标记为“▲”的点在正方形的顶点处.设集合Ω={P1，P2，P3，P4}，点P∈Ω，过P作直线lP，使得不在lP上的“▲”的点分布在lP的两侧.用D1（lP）和D2（lP）分别表示lP一侧和另一侧的“▲”的点到lP距离和.若过P的直线lP中有且仅有一条使得D1（lP）=D2（lP），则Ω所有的这样的点P的直线有且仅有一条，则Ω中这样的P为______.

图1

解法1：由于点都在正方形的顶点，又是求点到直线的距离问题，所以想到建立直角坐标系，利用点到直线的距离公式解题.如图1，对四个“▲”标明字母，并以B点所在直线为x轴，A点所在直线为y轴建立直角坐标系，则P1（0，4），P2（3，2），P3（4，2），P4（6，5），A（0，3），B（1，0），C（4，4），D（7，1）.

设过点Pi（i=1，2，3，4）的直线为y-yi=k（x-xi）（斜率不存在的情况另行讨论），计算A，B，C，D各点到直线的距离，并进行求和等于0，讨论k的范围去绝对值，进而确定k的值.

以点P3（4，2）为例，显然x=4不满足题意，设过点P3的直线lP3：y-2=k（x-4），则A，B，C，D四点到lP3的距离分别为，讨论点A，B，C，D与直线lP3的位置关系：