函数单调性的判定方法 及其在高考题中的应用探究
2018-05-24陈桢
陈桢
【摘 要】本文分析函数的单调性在高考中的考查情况，概述函数单调性的判定方法，以例讲解有关函数单调性的解题方法。
【关键词】函数单调性 增函数 减函数 判定方法
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2018）01B-0156-03
函数单调性这部分内容是中学教学的重点之一，它的相关知识在初中、高中乃至大学都能运用到。函数的单调性作为函数的一个基本性质，同样也成了高考的热点，在高考的选择题、填空题、解答题中都出现过，有容易、中等、较难不同的难度层次，所占比分也跟着它的难度不同，有高低之分。本文将对函数单调性在高考中的考查进行分析，从而探讨函数单调性的判定方法及其应用。目的在于使学生对高中函数单调性这部分内容有更深刻的理解和更全面的把握，为将来的进一步学习打好基础。
一、函数单调性在高考中考查的分析
（一）高考题中有关函数单调性的考查形式。函数单调性作为高考的热点，常出现在高考的选择题、填空题、解答题中。
（二）考点分析。分析历年来的高考试题发现，函数单调性的各考点出现在解答题中的频率比出现在选择题、填空题中的频率高，下面对函数单调性各考点进行分析。
1.函数的单调性在不等式中的应用。函数的单调性在不等式中的应用，即证明不等式或解不等式。从 2009 年到 2011 年这三年考题中可看出，证明不等式或解不等式都成了必考内容。用什么样的方法来做题，我们可根据题设所给的条件来选择。在高考的时候，讲究的是做题效率，每个同学都在和时间作战，所以会选择简单的方法。
2.利用函数的单调性求参数值或参数值的取值范围。对于这个考点，根据统计，在 2010 年许多省份都考了此考点。这样的题型我们可根据题设所给出的条件来选择做题方法，简单地利用求导就可解决问题。难度高的题一般会利用求导、函数的单调性来解决，但这样的考点一般都是出现在后面的大题中，分值跟其难度有关。
3.求函数的极值、最值、零点。求函数的零点这个考点很少出现，出现较多的是求函数的极值、最值，而且都是在后面的大题里出现。遇见这样的题型，根据我们的做题经验，先利用求导的办法，然后利用函数的单调性来解决问题。
4.讨论函数的单调性和求函数的单调区间。这样的题型直接就是把函数的单调性作为一个考点，而不是把函数的单调性作为桥梁去解决其他考点，做题方法就是把求导作为桥梁来解决问题。当然，判断一个函数是增函数还是减函数，也可以利用其定义来判定，所以选择哪种方法就得看题设所给出的条件。
二、浅析函数单调性的判定及函数单调性在考题中的应用
（一）函数单调性的判定。函数的单调性，揭示的是绝对上升或下降的趋势，这是函数单调性的特征。从本质上看，函数单调性揭示的是一种变化趋势。
所谓函数的单调性是指一般地，设函数 f（x）的定义域为 I，如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1，x2，当 x1
1.简单函数的判定。对于简单函数的判定有三种方法。
第一种方法是定义法。根据函数单调性的定义，我们可以得出用定义法证明函数单调性的一般步骤：首先设元，任取 x1，x2D 且 x1 例如，用定义法证明函数 f（x）=x3+x+1 在（-∞，+∞）是增函数。根据步骤，我们首先设元，设任意的 x1，x2（-∞，+∞），且 x1 第二种方法是导数法。所谓导数法即设函数 y=f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，如果在（a，b）内有<0（或>0），那么函数 y=f（x）在[a，b]上单调减少（或单调增加）。因为中学所学的函数基本上都是连续函数，所以高中阶段并未讨论函数连续，继而我们在高中用导数法时，可以不用讨论函数是否连续。例如，试证当 x>0 时，f（x）=1n（1+x）-x 是减函数。根据题目，我们可判断 f（x）在[0，+∞）是连续的，在（0，+∞）是可导的，所以 。之后判断 的符号，因为 x>0，所以 <1，所以 <0。根据导数法的定义，我们即判定函数 f（x）在区间（0，+∞）上是单调减函数。与定义法相比，导数法比较简便，但它们各有优势，我们可根据题目来选择用哪种方法。 第三种方法是图象法。所谓图象法就是观察图象，从左向右，图象上升即为增函数，图象下降即为减函数。 2.复合函数的判定。复合函数在中学课本中并未提出，但在题目中会遇到，所以这部分内容是由教师补充给学生讲的。 对复合函数来说，复合函数 y=f（g（x）），设 u=g（x），则 y=f（u）。若 u=g（x）和 y=f（u）单调性相同，则 f（g（x））为增函数；若 u=g（x）和 y=f（u）单调性相反，则 y=f（g（x））为减函数；若 f（x），g（x）都为增（或减）函数，则 f（x）+g（x）为增（或减）函数；若 f（x）为增函数，g（x）为减函数，则 f（x）-g（x）为增函数，若 f（x）為减函数，g（x）为增函数，则 f（x）-g（x）为减函数。
（二）函数单调性在高考题中的应用实例。关于函数单调性的考查，在高考题中有利用函数的单调性作为桥梁来解题的，也有直接把函数单调性作为一个考点的。有的是一题考查一个考点，如选择题或填空题；有的则是一个题包含着几个考点，如后面的大题。下面笔者用高考题来对考点进行分析。
例 1（2011 年，辽宁卷，11 题）函数 f（x）的定义域为 R，f（-1）=2，对任意 x∈R，>2，则 f（x）>2x+4 的解集为（ ）。
A.（-1，1） B.（-1，+∞） C.（-∞，1） D.（-∞，+∞）
我们首先可观察题设所给的条件，对于此类题，我们可以构造一个新函数，即令 g（x）=f（x）-2x-4。根据题设给出的信息，我们可对新函数求导，即 -2>0，所以函数 g（x）在 R 上是增函数；又因为 f（-1）=2，所以 g（-1）= f（-1）+2-4=0，故 g（x）>g（-1）。由函数 g（x）的单调性可得 x > -1，所以选 B。
此题的考点是解不等式。分析题意，不能直接解此不等式，所以可以考虑构造函数。再看题设所给条件，便知可先用求导来判定函数的单调性，再利用函数的单调性使自变量间的大小关系与函数值之间的大小关系，得出不等式的解集。此题看似考不等式，其实它是考查函数单调性在不等式中的应用。它既考查了求导，又考查了函数单调性的判定。做这样的题许多学生不知灵活运用题目中所给信息，导致做题受阻。
例 2（2010 年，辽宁卷，21 题）已知函数 f（x）=（a+1）·1nx+ax2+1。
（1）讨论函数 f（x）的单调性；
（2）设 a<-1，如果对任意 x1，x2∈（0，+∞），│f（x1）-f（x2）│ 4│x1-x2│，求 a 的取值范围。
题（1）是讨论函数的单调性。关于讨论函数的单调性，首先确定其定义域。此题我们一眼就可看出它的定义域，即 x∈（0，+∞），接下来对原函数求导，即 。因为 a 的取值范围影响了 的正负，所以要对 a 的取值范围进行讨论。当 a0 时，有 >0，所以 f（x）在（0，+∞）上单调递增。当 a-1 时，<0，故 f（x）在（0，+∞）上单调递减。当 -1
此大题包含了两个小题，这两个题看似没有什么关联，题（1）是讨论函数的单调性，题（2）是求参数 a 的取值范围，其实不然。根据题（1）得出的结论：当 a-1时，f（x）在（0，+∞）上单调递减，题（2）就要利用这个条件得出等价变换，从而将题（2）的条件简单化，最后得出结果。所以两个小题是一题紧扣一题。对于此类题型，考生容易忽视两点：第一，函数的定义域。忽视此点会造成单调区间不是定义域子集的错误。第二，题与题之间的联系。此题如果学生忽视题（1）得出的结论，就会造成无从下手或是浪费大量的时间去讨论去绝对值后正负的问题，浪费大量的時间。
根据上面的两个例题，我们可以看出，并不全是一个题考查一个考点，考点与考点间是相互联系的，掌握这样的规律后，就会降低解题的难度，同时节约做题的时间。
三、函数单调性在中学教学中的特点
在教学中，函数的单调性是研究当自变量 x 变化时，它的函数值 f（x）的变化情况。进入高一后，课本就明确给出了函数单调性的定义，这是研究具体函数单调性的依据。从图形上观察，从左到右，图象上升，则函数是单调递增的；图象下降，则函数是单调递减的。如果从这个角度来描述函数单调性的特征，学生并不难理解，难理解的是把具体函数单调性的特征抽象出来，如何用含数学符号的数学语言来描述，即在函数的定义域内任意的 x1，x2，且 x1
通过以上对 2009—2011 年高考题的分析及对函数单调性的判定和应用的分析，要想正确理解函数单调性及其应用，可以从这几点入手。首先，要熟悉函数单调性判定的几种方法，其中定义法和导数法是常用的方法；其次，一般关于函数单调性的考虑，都会联系到导数的运算，所以对导数也应该了解；再次，在解决有关不等式方面时，最常用的方法是构造函数，然后对新函数求导，再根据其单调性来解决问题；最后，对函数的定义域不能忽视，以免造成单调区间不是定义域的子集的错误。
【参考文献】
[1]刘绍学.普通高中课程标准实验教科书数学必修1（A版）[M].北京：人民教育出版社，2007
[2]陈光曙.面向新世纪课程教材大学数学[M].上海：同济大学出版社，2007
[3]薛 彬.全日制普通高级中学教科书数学第三册[M].北京：人民教育出版社，2006
（责编 卢建龙）
