如何应用正态概率分布来分析投资的风险程度

2018-05-24刘浪湖北科技学院数学与统计学院统计学

新商务周刊 2018年2期

文/刘浪，湖北科技学院数学与统计学院统计学

1 正态分布的概念

正态分布，也称“常态分布”，又名高斯分布，最早由A.棣莫弗在求二项分布的渐近公式中得到。C.F.高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性质。是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。

正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。

若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的正态分布，记为N(μ，σ^2)。其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。当μ = 0,σ = 1时的正态分布是标准正态分布。

2 确定概率分布

一个事件的概率是指这一事件可能发生的机会。例如，一个企业有 70% 盈利的机会，有30%亏损的机会，如果把所有可能的事件或结果都列示出来，因每一事件都给以一种概率，把它们列示在一起，便构成了概率分布。可以看出概率分布即有如下特点，首先各种事项可能发生的概率只能在0与1之间，即不能小于0也不能大于1，其次所有事项发生可能性的概率之和必须要等于1。

3 计算期望报酬

期望报酬率是各种可能的报酬率按其概率进行加权平均得到的报酬率，它是反应集中趋势的一种量度。期望报酬率可按下列公式计算：

式中，λk——期望报酬率

ki——第i种可能结果的报酬率

pi——第i种可能结果的概率

n——可能结果的个数

例如：甲公司有两个投资机会，A投资机会是一个高科技项目，该领域竞争激烈，如果经济发展迅速并且该项目搞得好取得较大市场占有率，利润会很大，否则利润很小甚至亏本。B项目是一个老产品，并且是生活必需品，销售前景可准确预测。假设未来的经济情况只有三种，繁荣、正常、衰退，若A项目繁荣，一般，衰退，三种分别为70%，20%，40%，若B项目繁荣，一般，衰退，三种分别为40%，20%，0%，且发生三者概率都为0.2，0.6，0.2

下面，根据上述期望报酬率公式分别计算A、B项目的期望报酬率：

λkA=k1p1+k2 p 2+k3 p3=70%×0.2 +20%×0.6 +（-30% ）×0.2 =20%

λkB =k1 p1+k2p2+k3p3=40%×0.2 +20%×0.6 +0%×0.2=20%

两个项目的期望报酬率都是20%，但相比之下可以发现A方案的报酬率非常分散，而B方案的报酬率较集中，一般可以认为B方案的投资风险要比A方案小，由此在风险衡量时可得出如下结论：即预期报酬的概率分布愈狭窄，那么其投资风险越小，反之。能得A、B方案概率分布的宽窄程度，根据期望报酬率的分散程度。

可见虽然A、B方案的期望报酬率相同，但A方案的概率分散，B方案的则比较集中。

4 置信概率和置信区间

根据统计学原理，在概率分布为正态分布的情况下，随机变量出现在预期值±1个标准差范围内的概率有68.26%；出现在预期值±2个标准差范围内的概率有 95.44% ；出现在预期值±3个标准差范围内的概率有99.72%。把“预期值在±X个标准差”称为置信区间，把相应的概率称为置信概率。已知置信概率，可求出置信区间，反之亦然。

下面还是源用上例，利用置信原理对A、B 两项目的风险报酬进行进一步分析：

1.计算A项目盈利与亏损的概率；

（1）计算出报酬率从0%——20%占标准差的比重，设该比重为X