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基于混合式教学的“梯度”教学案例研究

2018-05-23赵文才刘洪霞包云霞

大学教育 2018年3期
关键词:梯度问题驱动混合式教学模式

赵文才 刘洪霞 包云霞

[摘 要]APOS理论为数学概念的教学提供了理论基础。以“梯度”为教学案例,可以探索以问题驱动的混合式教学模式改革,鼓励学生从实际问题出发,充分利用优质课程资源自主探究学习。通过活动、过程、对象、图式等阶段的逐层构建,可以帮助学生完成对梯度概念的完整认知。

[关键词]APOS理论;混合式教学模式;问题驱动;教学案例;梯度

[中图分类号] G642 [文献标识码] A [文章编号] 2095-3437(2018)03-0061-04

○、引言

20世纪90年代,美国数学教育家杜宾斯基(Dubinsky)在研究数学概念的教学中提出了APOS理论。APOS理论认为,高等数学概念的学习过程,是学生分层主动建构的过程。首先,通过“活动”(actions)让学生亲身体验和感受问题的直观背景、概念间的关系。其次,通过“过程”(processes)让学生对活动阶段进行反思,经过描述、内化和抽象,得出概念所特有的性质。再次,通过“对象”(objects)让学生认识概念的本质,并赋予形式化的定义和符号,使其成为一个具体的对象并以此为对象进行新的活动。最后是“图式”(schemas)阶段,通过长期的学习和完善,让学生建立起与其他概念、图形和规则的联系,在头脑中形成综合的心理图式。在数学概念的建构过程中,学生已有的知识结构发挥了重要作用。

“梯度”是多元函数微分学的重要概念,是刻画多元函数变化率的重要工具,在解决许多实际问题中具有广泛应用。在学习“梯度”概念之前,学生已掌握了导数、偏导数、方向导数以及向量的数量积等知识。如何帮助学生顺利实现已有知识结构到新知识的迁移,从而掌握梯度概念的本质以及与方向导数的关系,是本节课要解决的主要问题。

一、教学目标

课程教学包括知识目标、能力目标、情感目标等三个方面。

1.知识目标:理解和掌握梯度概念与计算方法;掌握梯度与方向导数的关系;理解梯度的几何意义。

2.能力目标:培养学生综合运用所学知识发现问题、分析问题和解决问题的能力;培养学生抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力以及理论联系实际的能力。

3.情感目标:引导学生主动从现实生活中提炼数学问题,激发学生学习数学的兴趣,使学生体验数学知识的价值与应用,形成主动学习的态度,提高学习积极性。

二、教學策略

1.采用线上线下相融合的混合式教学模式。课前线上学习、小组讨论,课上教师讲解、同学汇报,师生讨论、深化提高。

2.采用以问题为驱动的教学策略。从警犬寻找毒品、蚂蚁逃生等实际问题引入,围绕下列问题渐次展开。第一,什么是梯度?如何进行计算?第二,梯度与方向导数的关系如何?第三,梯度的几何表示。

3.课堂教学突出重点。由方向导数的计算公式推导出方向导数是两个向量的数量积,从中引出梯度概念。进一步利用数量积的定义,讨论梯度与方向导数的关系,使学生掌握梯度就是一个向量的本质内涵,沿梯度方向,函数增长最快。

4.采用实例教学法,激发学生学习兴趣。利用生活中的警犬寻毒、蚂蚁逃生来引入梯度,让学生理解梯度的含义,引导学生主动思考和应用梯度概念。

三、教学过程

(一)活动(actions)阶段——概念引入

新概念的引入应充分考虑学生的身心发展和认知基础,体现直观性与可接受性原则。建构主义理论认为,此时学生尚处于概念直觉的“活动”阶段。教学中一般应从具体问题或数学自身矛盾出发,通过具体实例让学生体验、感受新概念的具体背景,激发求知欲和创造力,主动去构建新知识。警犬寻找毒品、蚂蚁逃生等均为现实生活中的真实问题,作为梯度引入的具体背景,学生易于接受,探索问题背后蕴含的数学概念,学生兴趣盎然。

师生共同分析:根据动物本能,警犬一定沿着气味浓度增加最快的方向搜寻毒品,而蚂蚁一定沿着温度下降最快的方向逃离石板。如何描述函数变化最快的方向?这就是梯度,从而引出本节教学内容。

板书本节课的主要问题(后续教学紧紧围绕这三个问题展开):

第一,什么是梯度?

第二,梯度与方向导数的关系如何?

第三,梯度的几何表示与应用。

(二)过程(processes)阶段——内涵阐释

学生通过对实际问题的思考,也就是通过对活动阶段进行反思、内化、压缩等一系列思维过程,初步抽象出新概念的内涵和性质,归纳出概念的基本定义。采用线上线下相融合的混合式教学模式,鼓励学生利用网络教学资源,对梯度概念进行充分预习,形成初步印象。通过小组讨论,发现问题。教师利用课堂进行引导、深化和提高。在这一过程中充分体现学生的主体地位。

任何新知识的产生,都有其内在发展变化的规律,新旧知识之间一定存在千丝万缕的联系,绝不是“无源之水、无本之木”,更不是“天上掉下个林妹妹”。教师的作用就是帮助学生建立新旧知识的桥梁,顺利实现从原有知识到新知识的迁移,完成对新知识的构建。为了帮助学生实现“梯度”概念的构建,就需要建立与已有知识的联系。经过“活动”阶段,学生已经形成直观印象,“梯度”应该是函数增长最快的方向。进一步引导学生思考:哪些概念可以描述函数变化的快慢?我们知道,偏导数反映的是函数沿坐标轴方向的变化率,而方向导数则表示沿给定方向的变化率。若函数f(x,y)在点P0(x0,y0)可微,则函数在该点沿任意方向=(cos?琢,cos?茁)的方向导数存在,且有

=fx(x0,y0)cos?琢+fy(x0,y0)cos?茁.

引导学生观察方向导数的计算公式,不难发现,如果引入矢量

fx(x0,y0)=fx(x0,y0)+fy(x0,y0),

则有fx(x0,y0)· =fx(x0,y0)cos?兹.

进一步启发学生思考:哪一个方向函数变化最快?也就是方向导数最大?答案是显而易见的,“梯度”概念的引出,也就水到渠成了。

由于同学们课前进行了网上学习,有同学主动要求汇报。学生在黑板上给出了梯度概念并结合下列题目进行求解。

例1 已知f(x,y)=xy,计算f(1,-1).

教师:该同学讲解清晰,课前进行了认真准备。例1讨论的是二元函数的情况,对三元函数,又该如何定义梯度呢?

有学生回答:三个偏导数为坐标构成的向量。也就是说,对于三元函数u=f(x,y,z),该函数在点P0(x0,y0,z0)的梯度为

教师总结:梯度就是以偏导数为坐标构成的向量,帮助学生完成“梯度”概念本质内涵的把握,实现知识结构的初步迁移,完成对“梯度”概念的初步建构。

(三)对象(objects)阶段——梯度与方向导数的关系

通过前面的直觉、抽象,逐步认识了概念的本质,并赋予了形式化的定义和符号,使其成为一个独立的精致化的“对象”。经过“对象”阶段之后,新概念呈现出一种静态结构关系,便于整体进行把握和使用。

下面将梯度上升为一个独立的“对象”来研究,讨论与方向导数的关系。本部分内容由学生根据线上学习情况汇报,梯度与方向导数的关系完全取决于夹角,经学习小组其他同学完善,得到下表:

显然,该组同学课前进行了深入学习和探讨,自主学习能力、创新意识较强。为了进一步巩固梯度与方向导数的关系,由另一小组汇报教材下列例题的求解方法。

例2 已知函数f(x,y)=与P(1,1)点, 计算:(1) f(x,y)在P处增加最快的方向及沿该方向的方向导数;(2)f(x,y)在P点减少最快的方向及沿该方向的方向导数;(3)f(x,y)在P处的变化率为零的方向。

小组推举一人进行课堂汇报,因课前进行了线上学习和组内讨论,学生能够很好地给出题目的解答过程。该函数为旋转拋物面,教师进一步从几何直观加以解释和拓展,引导学生思考:如何利用几何直观表示出梯度向量?从而为下一阶段的学习做好铺垫。

(四)图式阶段(schemas)阶段——梯度的几何表示与应用

在经过活动、过程、对象等三个阶段之后,学生通过建构、反思形成认知图式。认知图式要经过长期的学习活动来完善。初级的图式包含定义、符号以及反映概念的特例、抽象过程等内容。经过后续学习建立起与其他概念、规则、图形等的联系, 在头脑中形成综合的心理图式。在梯度概念的教学过程中, 通过揭示与向量、内积、方向导数等概念之间的关系,加深对梯度概念的理解和把握, 从而形成心理图式和数学意识。通过梯度的具体应用,提高分析解决实际问题的能力。

为了能建立“梯度”概念的完整图式,先来看梯度的几何意义。由例2不难发现,梯度方向恰好是曲线的=c一个法向量,从而引出等高线(也称等值线)的概念。推广到一般情况,得出梯度的几何表示。

结合图3,教师及时提出质疑:等高线f(x,y)=c在P点有两个法向量,梯度应该是哪一个法向量呢?由于梯度是函数增长最快的方向,因而一定指向较高的等值线。及时帮助学生辨析,去掉歧义,实现概念的准确建构。

教师:请同学们思考,对于三元函数,如何用几何直观表示梯度?

学生: 等值面的法向量。

教师: 法向量的方向有两个,应该是哪一个?教师适时加以引导,运用类比推理方法,完成知识的进一步拓展。经课堂共同讨论后得出结论:指向数值较大的等值面。

为了进一步深化对梯度的认识,提高运用所学知识分析解决问题的能力,下面来看梯度的具体应用。如何求解警犬的搜索路径?

例3 已知毒品气味浓度在地表平面上的分布函数为

警犬从(x0,y0)处沿气味最浓的方向搜索毒品,求警犬搜索的路线。

师生共同分析:若设搜索路线为y=y(x),则求解搜索路线的关键是建立路径所满足的微分方程。如何建立所满足的微分方程?引导学生思考警犬的前进方向。由课题的引入,警犬一定沿着气味浓度增加最快的方向,也就是梯度方向搜寻毒品。而函数f(x,y)=e- (x+2y)在任意点P(x,y)处的梯度为

f(x,y)=fx(x,y)+fy(x,y)=2e- (x+2y)(x+2y),

因此,该梯度方向就是警犬前进的速度方向,也就是曲线y=y(x)在任意点P(x,y)处的切线方向。而切线方向为

=dx,dy.

于是f(x,y)∥,由此得出,y=y(x)所满足的微分方程为

=y(x0)=y0

这是一个变量可分离方程,不难求解得

y=x.

显然,这是一条抛物线。由浓度函数f(x,y)=e- (x+2y)不难看出,f(0,0)=1为最大值。因此,警犬从(x0,y0)处沿抛物线到达原点,从而找到毒品的藏匿位置。

该题前后呼应,让学生体会知识的应用和价值,培养学生运用所学知识分析解决问题的能力。警犬搜索毒品这样的现实问题,借助于数学,就可以得到完美的解决,进一步激发学生学习数学的兴趣。

(五)内容总结

课堂总结复习,回顾梯度的定义, 梯度与方向导数的关系以及梯度的几何表示。“梯度”概念的教学过程如下:

为了帮助学生实现知识的拓展与升华,给出下列思考题:

(1)已知石板的温度分布函数为T=80-2x2-y2-x,求蚂蚁的逃生路径。

(2)例3研究的是平面搜索问题,若毒品藏在大山之中,警犬的搜索路径又该如何求解呢?例如,已知毒品气味浓度函数为

f(x,y,z)=e- (x+2y+z),

求搜索路径?

第一题用来呼应课题引入的另一个实际问题,这仍是一个二维平面问题,学生受到例题3的启发,应该容易解决。第二题推广到三维空间,难度较大,具有挑战性。学生成功解决二维搜索问题之后,已体验到成功的快乐,一定会向三维搜索问题发起冲击。

四、教学反思

课题教学从警犬搜索毒品、蚂蚁逃生等实际问题引入,围绕问题展开讨论,最后以解决问题结束,前后呼应得当。教学案例以APOS理论作为具体指导,采用了线上线下相融合的混合式教学模式,学生通过课前线上学习,课堂汇报, 充分体现了学生的主体地位,发挥了学生学习的积极性和主动性。该教学方法得到基础较好学生的广泛赞同。但部分同学参与程度不高,线上学习不到位。该教学方法对部分基础较差、学习主动性不强的学生不适合,容易造成掉队。

[ 参 考 文 献 ]

[1] DUBINSKY E. Reflective abstraction in advanced mathematical thinking[J]. Advanced Mathematical Thinking,1990,11:95-126.

[2] 陈惠勇.数学史观下的数学概念教学新模式[J].高等数学研究,2007(5):58-62.

[3] 高雪芬,鲍建生.大学生对微分概念的理解及认知方式分析[J].数学教育学报,2013(1):40-43.

[4] 王彩芬,曹荣荣,田磊,等.基于APOS理论的无穷级数概念认知分析[J].高等理科教育,2016(4):86-90.

[5] 赵文才,刘洪霞,赵义军.类比推理方法在翻转课堂教学改革中的应用[J].大学教育,2016(10):122-124.

[6] 刘洪霞,周绍伟,卓相来.基于微课的翻转课堂教学设计与实践[J].统计与管理,2017(5):117-119.

[7] 赵文才,侯婷,杨记明,秦婧.大学数学学习障碍的成因与对策[J].教育与教学研究,2010(8):112-114.

[8] 钟晓流,宋述强,焦丽珍.信息化环境中基于翻转课堂理念的教学设计研究[J].开放教育研究,2013(1):58-64.

[责任编辑:林志恒]

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