董少群 曾联波* Xu Chaoshui曹 菡 王圣娇 吕文雅(①中国石油大学(北京)地球科学学院，北京 102249； ②油气资源与探测国家重点实验室，北京102249； 阿德莱德大学土木、环境和采矿工程学院,澳大利亚阿德莱德 5005； 中国科学院对地观测与数字地球科学中心，北京 100094)

1 引言

裂缝是指岩石受到构造变形发生破裂作用或物理成岩作用形成的没有明显位移的面状不连续体，常呈网状分布[1]。裂缝在很多领域均有涉及，其空间展布研究对于油气勘探开发、地热开发、采矿、岩土工程、水文地质等领域均有重要意义。在油气田勘探开发领域常称其为“裂缝”，在岩土工程、采矿、水文地质等领域则习惯称其为“裂隙”，两者中文名称虽不同，但其所指一般等同[2]。为便于叙述，本文统一将其称为裂缝。裂缝是岩体中流体移动的通道，如裂缝网络是储层中油气、地热系统中热液、水文地质工程中地下水等流体运移的通道。

裂缝建模是一种常用的研究裂缝空间展布的手段，可分为确定性建模和随机建模。确定性建模是根据已知信息建立确定的裂缝模型，如通过地震资料解释出规模较大的裂缝，该方法一般不适用于规模较小的裂缝，且不能较好地综合利用多种资料。裂缝随机建模则是利用裂缝的先验信息，通过随机模拟方式生成可选的相同概率裂缝模型。这类方法不仅满足已知点的裂缝统计学特征，而且承认未知区域裂缝发育的随机性，较好地尊重了裂缝模拟不确定性的客观事实[3]。近年来裂缝随机建模方法应用较为广泛，且已在油气开采、地热开发、采矿等领域均取得较好的应用效果。

目前常用的随机裂缝建模方法大致可分为五类： ①基于空间剖分的裂缝建模； ②离散裂缝网络建模； ③基于变差函数的裂缝建模； ④基于多点地质统计学的裂缝建模； ⑤基于分形特征迭代的裂缝建模。本文结合实例介绍五类方法的原理、优缺点及适用性等，同时讨论这些方法在应用中存在的问题，并在此基础上总结了裂缝随机建模方法研究的四个发展趋势。

2 基于空间剖分的裂缝建模

假设岩石中单个裂缝为平面多边形，所有裂缝多边形延伸后的平面便可将岩石剖分成多个岩块，即进行空间剖分。裂缝建模时，若空间剖分合理，则这些平面上的某些多边形即为裂缝。基于空间剖分的裂缝建模方法便是这种建模思路的一种实现，常用模型包括正交模型、马赛克镶嵌模型和Veneziano模型等[4]。

2.1 正交模型

正交模型是针对岩石裂缝系统进行几何模拟的一种建模方法，其早期应用于水文地质等领域[5]。实际应用中的正交模型多为三维模型，初期的正交模型为无边界正交模型，它将岩石裂缝系统中的裂缝简化为三个方向上的无限正交面(图1a的灰色平面)。不同方向裂缝面间距分别为S1、S2、S3，可通过随机模拟获得。图1b为澳大利亚塔斯马尼亚的棋盘石[6]，通过野外露头测量统计不同方向的裂缝间距，分别获得S1、S2、S3的分布函数，随后便可通过蒙特卡洛随机模拟得到随机正交裂缝模型。该方法适用于正交的高角度裂缝系统建模，且裂缝规模相对于研究区范围足够大。该方法的优点是简单易行，但实际裂缝系统并非都为如此规整正交裂缝网络(图1d中的延河剖面露头、图1f中的加利福尼亚的碳酸盐岩露头剖面[7])。针对此类问题，有学者[4，8，9]将无边界正交模型进行了改进，提出有边界正交模型(图1c、图1e)。将图1a中剖分出的小网格进行编号，然后依据一定的规则选择某些小网格或小网格的一部分作为裂缝。

图1 正交模型及与其相似露头剖面(a)无边界正交模型； (b)塔斯马尼亚较规整的棋盘石(正交裂缝)[6]； (c)有边界正交模型；(d)延河剖面露头； (e)有边界正交模型； (f)加利福尼亚圣巴巴拉市碳酸盐岩露头剖面[10]

2.2 马赛克镶嵌模型

二维马赛克镶嵌模型，先在平面上生成一系列散点，然后通过相邻两点的中垂线将平面分割成彼此镶嵌的凸多边形“马赛克”[11]，图2a是其俯视图。当给予每个多边形一定高度后便可形成三维马赛克镶嵌模型(图2a)，多边形柱状体相邻面即为裂缝，这种方法可较好地模拟柱状节理(图2b)。另一种三维马赛克实现方式如图2c所示，它直接在空间中生成一系列散点，然后通过相邻两点的中垂面将三维空间剖分维彼此镶嵌的凸多面体“马赛克”。此时岩石被剖分成断块或基质岩块，按一定规则选定凸多面体的部分面为裂缝，所形成的裂缝网络即为所得的裂缝模型。野外露头及岩心常见此类裂缝，如图2d所示。在利用这种方法建立裂缝模型时，生成平面和空间中的散点十分关键，因为它直接决定了模型是否可用。

2.3 Veneziano模型

Veneziano模型也称泊松平面模型(Poisson flat model)，是由Veneziano于1978年提出，其建立过程如图3所示，可分为三步[4，12]： ①泊松面过程(图3a)，在空间中生成随机平面Ai(i=1,2,…,n)，n为预定义的参数； ②泊松线过程(图3b)，通过泊松过程生成平面Ai上的随机直线，将平面分割成多边形集Pi(i=1,2,…,m)，m为第i个平面上的多边形的个数； ③依概率选取多边形作为裂缝面(图3c)。整个模型生成过程由裂缝密度决定[12]，步骤①反映了主应力走向及研究区的整体裂缝密度[13]，由P30、P31或P33(表1)控制，步骤②、步骤③通过裂缝多边形的大小和位置反映裂缝密度的变化，步骤②由P20、P21或P22(表1)控制。前面提及的正交模型、马赛克镶嵌模型均可视为Veneziano模型的一种特例。

图2 马赛克镶嵌模型及与之相似的露头剖面(a)二维马赛克镶嵌扩展模型； (b)济州岛柱状节理； (c)三维马赛克镶嵌模型； (d)塔河油田一间房组的岩心

图3 Veneziano模型(a)泊松面过程确定随机面； (b)泊松线过程确定随机线； (c)确定裂缝面； (d)三维裂缝模型

表1 裂缝密度、强度、孔隙度参数

该模型提出后，一些学者陆续对该模型做了改进。Dershowitz等[8，9]将该模型的后两步进行了改进，提出了Dershowitz模型。Einstein、Ivanova等[4]在Veneziano模型(图3d)的基础上进行了改进，通过将多边形进行旋转及筛选等操作将Veneziano模型转换为离散裂缝网络模型。Ivanova等也尝试对步骤②进行改进，使用1.2节中介绍的Voronoi图法将平面进行剖分[13]，提高了生成符合条件的裂缝多边形的效率。Mosser等[14]也对该模型进行了研究，认为直接利用泊松线过程建立的裂缝模型过度估计了裂缝的连通性，并且针对此问题提出了STIT方法。STIT方法在泊松线过程的基础上，对其剖分出的网格进行进一步剖分，Mosser等[14]认为该方法可以缓解过度估计裂缝连通性的问题。

3 离散裂缝网络建模

离散裂缝网络(Discrete fracture networks，DFN)最早由Baecher等[12，15]引入。如图4a所示，Baecher模型假设裂缝为一圆盘(圆形或椭圆形)，各圆盘之间可以交叉，是一种基于示性点过程的随机建模方法[16，17]。其实现过程分为两步：点过程、示性过程。点过程确定裂缝的中心位置； 示性过程确定点的属性，如裂缝大小、倾角、倾向、开度、渗透率等属性[17]。

自Baecher模型被引入以来，便得到了广泛应用，并且出现了不同形式的改进，主要体现在以下三个方面。

(1)裂缝面形状表示方法的改进。三维裂缝面最初假设为圆盘，因为裂缝产生时最初近似为圆形或椭圆形，随着破裂过程的继续，受层面等多方面限制，其形状变得相对不规则，故后续有学者相继将其改进为多边形等，并对裂缝的期次(如裂缝多边形之间的的切割、限制关系)做了相关改进(图4b～图4e)。图4b为增强Baecher模型，它将椭圆换成近似椭圆的多边形，而且裂缝可被其他裂缝截断； 图4c为BART(Baecher Algorithm Revised Terminations)模型，其对裂缝终止过程做了进一步改进[9]； 图4d为泊松矩形模型，是一种简化的增强Baecher模型，其裂缝通过矩形表示，而不再是原来近似圆形的多边形[4]； 图4e中模型为随机多边形模型，它将裂缝面定义为边数固定的随机多边形[17，20]，目前很多裂缝建模商业软件中已采用该方案，可预设多边形边数，如FracMan、Petrel等。

(2)裂缝中心位置的产生规则的改进。裂缝位置的确定一般通过稳态泊松过程来实现， 为扩展其适用范围，其他方式的裂缝位置产生规则相继被引入，如基于非稳态泊松过程、马尔科夫链蒙特卡洛(Markov Chain MonteCarlo，MCMC)[21]、分形[18，22]、Cluster过程[17]、Cox过程[17]等(图4f～图4j)。图4f中模型为最近邻模型，是一种半概率的、基于模式的模型。裂缝易分布于断层或大规模裂缝附近，该模型模拟该趋势，优先在断层或大规模裂缝附近生成裂缝[4]。图4g中模型为战区模型，也是一种半概率的、基于模式的模型。它通过优先在近似平行的裂缝之间生成裂缝来模拟剪切带的几何形态[23]。图4h～图4j分别对应Levy-Lee分形模型[24]、母女模型(Parent-daughter model)[25，26]、二元分形裂缝网络(Binary fractal fracture network，BFFN)模型[18，22]，它们是考虑裂缝位置的分形特征的改进DFN模型。

图4 离散裂缝网络模型[4，9，11，13，17-19](a)Baecher模型； (b)增强Baecher模型； (c)BART模型； (d)泊松矩形模型； (e)随机多边形模型； (f)最近邻模型； (g)战区模型；(h)Levy-Lee分形模型； (i)母女模型； (j)二元分形裂缝网络模型； (k)非平面带模型； (l)GEOFRAC模型

(3)裂缝属性分布的改进。很多学者对裂缝的走向、倾向、倾角、开度、孔隙度、渗透率、间距等参数的分布做了大量研究工作。如描述裂缝长度常使用指数分布[27]、对数正态分布[15，28]及伽马分布[29]等； 描述裂缝走向的有von-Mises分布[17]； 描述裂缝倾向、倾角的有Fisher分布； 描述开度的有指数分布、对数正态分布[30]、与裂缝长度呈线性或非线性关系[31]等； 描述裂缝间距的有指数分布[12]、对数正态分布等； 描述裂缝迹长的有对数正态分布[12]、 指数分布等。

对DFN模型进行改进时，常兼顾上述多个方面，如图4h中的非平面带模型，是一种半随机模型，其裂缝位置和走向随设定曲面变化[4]，对裂缝面的形状及裂缝中心位置的产生规则均有所改进。

建模方法的主要原理相同，即示性点过程。除了基于示性点过程的离散裂缝网络建模外，Ivanova等[4，13，32]在Veneziano模型的基础上进行了改进，也可以生成离散裂缝网络模型，称为GEOFRAC模型(图4l)。限于篇幅，本文仅选取几组有代表性的DFN模型进行介绍。

3.1 Baecher模型

Baecher模型也称为随机圆盘模型(Random-disk model)[12]，它通过点过程和示性过程共同确定裂缝网络中的各条裂缝。原始Baecher模型有五个假设条件[4，12]： ①单个裂缝为平面圆盘； ②裂缝中心位置符合随机分布，且各裂缝中心位置彼此独立； ③圆盘半径符合对数正态分布； ④裂缝半径与倾角不相关(统计角度上独立)； ⑤裂缝半径与裂缝中心位置不相关(统计角度上独立)。由于构造应力作用，实际储层的裂缝常具有一个或多个优势产状(倾向、倾角)。基于此，Baecher模型建立过程如图5所示，分为四步。

(1)利用极点图划分裂缝组系。如图5a所示，半径对应裂缝法线与铅垂线夹角(即裂缝倾角)的正弦，方位角对应裂缝法线在水平面的投影与正北方的夹角(即倾向)，颜色代表裂缝的数量，暖色调表示裂缝数量多，可以看出存在两组高角度裂缝，走向分别为北北东和北北西。

(2)点过程确定裂缝位置。以第①组裂缝为例，通过下式中均匀分布[33]确定随机数(x,y,z)，即为裂缝中心位置坐标

(1)

式中V为研究区体积。该组裂缝圆盘的中心位置如图5b所示。

(3)示性过程确定每条裂缝的属性(如倾向、倾角、走向、大小、开度等)。通过蒙特卡洛随机模拟产生的随机数作为分位数，从累计分布函数上获得分位数对应的裂缝属性值。裂缝产状(倾向、倾角)模拟可通过模拟裂缝面法线来实现[17，33-36]，确定裂缝面法线后再将其转换为裂缝面的倾向和倾角。除此之外，产状也可通过直接模拟裂缝面的倾向、倾角来实现[17，19，33-35]，即首先拟合裂缝倾向、倾角所符合的分布，然后直接对两个分布进行随机模拟，获取相应的倾向和倾角数值。

下面将以通过裂缝面法线确定裂缝产状的方式进行介绍。利用von-Mises分布(式(2))拟合裂缝倾向，利用均匀分布(式(3))拟合裂缝倾角，利用对数正态分布(式(4))拟合裂缝圆盘半径和裂缝开度。

(2)

(3)

式中a、b分别表示裂缝倾角的最大值和最小值。

(4)

式中：σ体现圆盘半径或开度的变化程度，σ越大，分布函数越平缓；μ决定半径或开度分布的峰值位置。

通过图5a中第①组裂缝的参数统计结果进行概率密度估计可获得式(2)～式(4)中的参数。随后便可得到对应的累积概率密度曲线，如图5c～图5f所示。

通过蒙特卡洛随机模拟产生四个随机数作为四个分布的分位数，然后找到对应累积概率密度曲线的横坐标即为裂缝属性，如图11中虚线所示，倾向、倾角、半径、开度分别为61°、84°、1.2m、0.0192mm。重复上述操作3次后，生成的裂缝如图5g所示，颜色表示开度的大小。继续重复上述过程直至满足终止条件即可生成离散裂缝网络模型。终止条件多与裂缝密度有关，如表1所示。常用的终止条件有： ①单位体积中裂缝的条数P30达到预设值； ②单位体积中裂缝的面积P32达到预设值； ③单位体积中裂缝的体积P33达到预设值。这些预设值常通过岩心、测井、露头等测得的裂缝密度给出。完成第一组裂缝模拟后，用同样的方式可以实现另一组裂缝的建模。

图5 Baecher模型建模流程(a)极点图确定裂缝组系； (b)点过程确定裂缝中心位置； (c)示性过程确定裂缝倾向、倾角；(d)示性过程确定裂缝半径长度； (e)示性过程确定裂缝开度； (f)第①组裂缝模拟结果

(4)质量控制(QC)。裂缝网络模型建完后，很重要的一步就是质量控制，而裂缝密度则是常用的一类衡量参数，如统计井轨迹通过P10(单位长度上裂缝的条数)或P11(单位长度上裂缝的长度)是否与井数据相对吻合，如果不吻合，则需要对模型进行调整。

3.2 最近邻模型

按裂缝形成时构造应力场作用范围，可将裂缝分为区域构造裂缝和局部构造裂缝。局部构造裂缝又可分为与断层相关的裂缝和与褶皱相关的裂缝。与断层相关的裂缝存在于断层附近，与之伴生，其发育的应力场与断层一致，且随着与断层距离的增大，裂缝的线密度明显降低[1，37](图6[38])。最近邻模型是一种改进的Baecher模型，它对裂缝位置做了改进，假设裂缝密度与裂缝和主裂缝的距离有关，它随着距离的增大呈指数减小，从而使裂缝更易于分布于断层或大规模裂缝附近[4]。

针对上述现象，高志勇等[37]对库车前陆盆地裂缝与断层关系进行了定量分析。图7显示裂缝线密度与距断面距离成较好的指数关系，与最近邻模型假设相近，故可用于此类裂缝建模及最后的裂缝模型效果检验。

图6 裂缝分布与距断层距离相关的剖面[38]

图7 库车前陆盆地裂缝与断层关系[38，40]

使用最近邻法建立与断层相关的裂缝模型时，裂缝的性质可以参考与断层相关的裂缝模式[39]。通过分析断层的应力特征及发育裂缝的力学特征可以获得裂缝的走向、倾向、倾角等相关信息，也可以辅助检验输入模型参数合理性及建立的裂缝网络模型的有效性。

在建立与断层相关的裂缝模型时，也可以使用母女模型[25，26]，同样能达到与最近邻模型类似的效果，母女模型除了考虑断层附近裂缝密度高的特性外，还考虑了裂缝的分形特征，本文将在3.3节中进行介绍。

3.3 分形模型

利用了裂缝分形特征的DFN模型均可看作是分形模型，认为裂缝长度符合幂律分布[33，41]。除考虑裂缝长度的分形特征外，裂缝位置的分形特征也常被引入到DFN模型中，如Levy-Lee分形模型[24](图4h)、母女模型[25，26](图4i)、二元分形裂缝网络模型[18，22](图4j)等。

实际应用中，裂缝的分形特征也被学者广泛认同[42-45]。很多学者认为晶质岩中的裂缝系统常呈现分形特征，具体体现在两个方面：裂缝空间分布符合幂律分布； 裂缝长度符合幂律分布。BFFN模型正是基于上述两点提出的。模型中裂缝中心位置按照“分形破碎”的方法产生，裂缝长度利用随机过程结合幂律定理产生[18，22]。其具体步骤如下。

(1)利用“分形破碎”的方法，根据D2(式(5))确定裂缝中心位置

(5)

(2)示性过程确定裂缝属性，如图8h所示。裂缝长度根据式(6)确定，倾向和倾角依据Fisher分布(式(7))获得

lgN=alglmax-algl

(6)

(7)

式中：N为裂缝长度不小于l的裂缝数量；lmax为最大裂缝的长度；φ、θ分别为裂缝面的倾向、倾角。

3.4 Veneziano改进模型

Ivanova等在离散裂缝建模方法研究和改进方面未沿用Baecher模型中示性点过程的方法，而是在Veneziano模型[4，12]基础上进行了改进，将图3d中生成的裂缝模型进行了平移、旋转，从而反映裂缝位置和走向的局部变化，并将其称为GEOFRAC模型[13]，如图4l所示。原始GEOFRAC模型在裂缝生成过程中存在一个问题，泊松线过程产生的多边形中有大量因其形状不能较好地反映裂缝形态而被删除，即裂缝多边形生成效率低，如图3b、图3c所示。针对这一问题，Ivanova等用Delauney三角剖分代替泊松线过程对原始模型进行了改进，有效地改善了裂缝多边形生成效率低的问题，他们将改进后的模型称为新GEOFRAC模型[13]。新GEOFRAC模型的生成过程如图9所示。

图8 三维BFFN模型构建过程[18](a)～(g)裂缝中心位置产生过程； (h)基于示性点过程生成裂缝模型

图9 新GEOFRAC模型中裂缝生成过程[13](a)通过泊松过程生成平面； (b)平面网格剖分； (c)多边形随机平移； (d)多边形随机旋转

4 基于变差函数的裂缝建模

基于变差函数的建模方法在沉积相、储层物性等建模中广泛应用[46]，但在裂缝建模中应用相对较少。通过变差函数可以表征空间中不同位置裂缝的相关性[16，47-49]，因此不少学者也尝试将其应用于裂缝建模。大部分工作是在2.1节中Baecher模型的框架内展开的，即利用变差函数模拟裂缝密度或确定裂缝位置，即代替点过程确定裂缝位置[16]。Dowd等[16]、Xu等[47]利用截断高斯指示模拟(Truncated Gaussian indicator simulation)和截断多高斯场截断模拟(Truncated Pluri Gaussian simulation)[50]对裂缝位置进行模拟，并结合示性过程进行裂缝建模，实验结果表明截断高斯指示模拟适用于裂缝系统相对简单的模拟，截断多高斯场截断模拟可更好地对复杂裂缝系统中裂缝位置进行模拟。

变差函数除了可以用于代替点过程外，也可以用于代替示性过程。Koike等[48，49，51，52]利用通过指示变换和变差函数来模拟裂缝走向、倾向，其文章中将其方法也称为GEOFRAC[48，49]，但根据发表先后，3.4节中方法要早，因此本文中GEOFRAC如果没有特别注释，则代指2.3节中的方法。Koike等提出的方法的操作步骤如图10所示，可分为以下三步。

(1)确定小平面中心，如图10a所示。该方法不直接模拟裂缝，而是先生成尺度较小的小平面，然后再将小平面连接成最终裂缝面。在确定裂缝中心时，先将储层进行网格化，然后利用序贯高斯模拟(Sequential Gaussian Simulation，SGS)模拟每个网格的裂缝密度，结合裂缝密度通过随机过程在各网格中确定是否有小平面中心，若有，则确定其中心位置。

(2)确定小平面走向和方位角(图10b～图10e)。将走向和倾角划分为16个区域，并进行指示变换，I=(g1,g2,…,gL)，此时L为16，当走向和方位角位于第i个区域时，gi=1，其他元素为0。此处Koike等定义的走向符合右手定则，范围为[0,2π]。通过普通克里金(Ordinary Kriging，OK)计算某个小平面中心位置处的I,如I=(0.2,0.9,…,0.05)，则其属于第2个区域。随后再根据该区域内裂缝的走向和方位的分布函数随机生成裂缝走向和方位。在普通克里金插值时，为了减少计算量，该方法引入了主成分分析。

(3)将小平面连接形成裂缝面(图10c～图10f)。首先判断两个小平面是否连接，它可以通过两个小平面的走向差、倾向差和小平面中心距离判断是否连接，也可以通过投影后的走向差和中心距离来判断两个小平面是否连接。随后将孤立的小平面转换成圆盘，作为孤立裂缝，将相互连接的小平面连接成裂缝面，如图10g，可以直接将小平面中心连接成不规则三角形格网(Triangulated Irregular Network，TIN)，也可以根据小平面的走向、倾角的均值计算裂缝面，并用小平面的包络作为裂缝面的边界。最终生成的裂缝模型，如图10h所示。

图10 基于变差函数的裂缝建模(据文献[48， 49]，有改动)(a)确定小平面中心； (b)～(e)确定小平面走向和方位角； (f)连接小平面形成裂缝面； (g)、(h)离散裂缝网络模型

5 基于多点地质统计学的裂缝建模

多点地质统计学较以变差函数为核心的两点地质统计学而言，易于表征复杂的空间结构、再现复杂目标的几何形态[46]。多点地质统计学包括迭代的和非迭代的两大类方法。迭代方法有基于模拟退火的方法[53]、基于吉布斯取样的后处理迭代方法等，但这类方法普遍存在迭代收敛问题[46]。文献中提及的多点地质统计学方法多指非迭代的方法，该类方法最早由Guardiano等提出，其通过训练图像扫描获取待估点的概率分布，进而模拟沉积相[54]，但在扫描图像时运算量及内存消耗都较大，不同学者对其尝试进行改进。目前常用的改进算法有SNESIM(Single Normal Equation Simulation)算法[55， 56]、SIMPAT算法[57-59]、FILTERSIM 算法[60]、DisPAT算法[61,62]等。SNESIM使用一个平衡方程进行概率估计，一次性将训练图像的条件概率存储于“搜索树”中，极大地减少了机时。SIMPAT利用训练图像获取地下结构的模式，采用相似性方法对地下储层进行图像恢复和再现。FILTERSIM为基于模式滤波的多点地质统计模拟方法。DisPAT算法构建数据样式的距离矩阵，应用多维尺度分析进行降维，再用K-means聚类建立样式聚类，后续模拟与SIMPAT相同[62]。这些方法从不同角度对原始方法改进，以提高效率和拓展应用范围。

多点地质统计学早期主要用于沉积相模拟，近年来正逐渐被应用于裂缝建模，对于裂缝建模，野外露头剖面、地震解释的断层等都可以作为裂缝几何形态的先验认识，即训练图像，同时测井解释或岩心观察的裂缝可以为硬数据。Dowd等[16]尝试使用SNESIM算法对尤卡山二维裂缝剖面进行模拟，并与其他方法进行对比，认为多点地质统计学模拟可以体现裂缝的空间相关性，并且能模拟复杂的裂缝网络。谢青[63]尝试使用多线程并行运算提高SNESIM算法效率，并对页岩储层天然裂缝进行了三维空间建模。Mohammadmoradi[64]、张烈辉等[65]、Jia等[66]针对FILTERSIM算法在裂缝建模中的问题分别进行了改进，并进行了二维裂缝建模。Liu等[67]使用SIMPAT算法对二维裂缝剖面进行建模并数模，结果表明所建立模型可以较好地描述裂缝系统。利用多点地质统计学进行裂缝建模，普遍存在稳态的问题，针对这一问题，Chugunova等[68]提出一种非稳态多点地质统计学的模拟方法，该方法除了使用裂缝图像作为训练图像外，还加入了裂缝密度图作为辅训练图像进行裂缝建模。随后，Chugunova等[69]利用多点地质统计学建立裂缝网络模型，并结合动态数值模拟对模型进行了验证。其建模具体流程如图11所示，具体分为三步：①训练图像构建(图11a～图11c),通过遥感图像获取岩性及裂缝，并选择某一相同岩性的区域作为训练图像; ②确定硬数据； 利用遥感数据解释明显的断层作为硬数据； ③结合训练图像和硬数据对待估点进行预测； ④通过生产数据验证模型的有效性。

图11 基于多点地质统计裂缝建模(据文献[69]，有改动)(a)遥感图像； (b)提取的不同岩性区域的裂缝； (c)训练图像砂岩4对应的裂缝； (d)硬数据(以(c)中

6 基于分形特征迭代的裂缝建模

基于分形特征[70，71]迭代的裂缝建模的常用方法有迭代函数系统(Iterated Function System， IFS)[72-74]、L-System、谢尔宾斯基三角形等，本章重点介绍前两种。

IFS将待生成的图像看作由许多与整体相似的(自相似)或经过一定变换与整体相似的(自仿射)小块拼贴而成。而裂缝网络常表现出自相似性或自仿射性，所以IFS也被用于裂缝网络模拟。Acuna等[72，75]利用IFS对二维和三维裂缝系统进行建模，如图12a、图12b所示，该方法首先对初始点群进行一系列迭代数值变换，随后每次迭代中，应用该系统中的函数对点群进行转换、映射、旋转、收缩、扭曲。当图像中的点群符合分形目标时便终止迭代，此时即可获得最终裂缝分布图像[46，75]。周德华等[74]将IFS应用于油气藏天然裂缝网络建模，方法实施包括三部分： ①裂缝网络的迭代生成，根据生成模型的分形维数Df与实际地层裂缝参数空间Dr的分形维数的差异决定迭代发生器的选择和迭代的终止； ②裂缝网络中流体流动的有限元模拟； ③通过与试井资料的匹配关系，利用模拟退火算法优化IFS参数，进而优化天然裂缝网络的几何结构。

L-System是描述植物生长的数学模型，其基本思想可解释为理想化的树木生长过程：从一条树枝(种子)开始，发出新的芽枝，而发过芽枝的枝干又全部发新芽枝，直至最后长出叶子。该方法与裂缝生长过程较为相近，故可尝试应用于裂缝建模。根据L-System 的基本思想，先建立二维树的数学模型：从树干开始，然后沿着树干逐渐扩展到连接的树枝，再以递归的方式进行同样的过程，该过程持续到最终分枝。Zhou等[76，77]结合微地震数据、生产数据对非常规储层中的裂缝系统利用L-system进行模拟，该方法将微地震数据解释为与之匹配的分形网络，进而解释复杂裂缝网络的分叉及多尺度特征。注水诱导裂缝的形成过程近似“从树干逐渐扩展到连接的树枝”，因此也有学者尝试将其应用于注水诱导缝的模拟。Fan等[78]基于分形特征对分形诱导裂缝网络进行模拟，并结合数值模拟进行了验证。

图12 基于分形特征迭代的裂缝模型(据文献[72， 75， 76， 78]，有改动)(a)二维IFS模型； (b)三维IFS模型； (c)二维L-system模型； (d)三维分形诱导裂缝网络示意图

7 结论和讨论

储层裂缝分布的复杂性使得储层裂缝建模成为一大难点，目前随机裂缝建模方法是较常应用的一类建模方法。本文系统地调研了现有的裂缝随机建模方法，将其分为五大类，他们的优缺点、适用性、发展趋势概括如下。

(1)基于空间剖分的裂缝建模

基于空间剖分的裂缝建模原理简单，便于操作，适用于高角度正交裂缝、柱状节理、岩石破裂等，但不适用于复杂裂缝建模。无边界正交模型和有边界正交模型适合模式较为简单的正交裂缝系统，如区域构造裂缝。马赛克镶嵌模型简单易行，可较好地应用于玄武岩柱状节理建模及岩石破碎模拟，但此类方法初始随机点的确定准则是一个难点。Veneziano模型包含大部分的空间剖分的裂缝模型，但其生成符合裂缝形态的多边形的效率较低。基于空间剖分的裂缝建模近年来发展缓慢，但仍有应用潜力。

(2)离散裂缝网络建模

离散裂缝网络模型中的Baecher模型是目前最常用的裂缝模型之一，简单易行，便于后续数模。它可综合多种信息将已有裂缝模式在研究区进行裂缝空间位置拓展，所建立的模型可包含较全的裂缝属性(倾向、倾角、长度、开度等)，这也是其他模型所不具备的。该方法易于与地质模式相结合，进而形成更加符合地质认识的裂缝模型。例如在断层附近的裂缝系统建模时可以通过改进点过程，使其符合远离断层裂缝密度低的规律；晶质岩中的裂缝系统常呈现分形特征，将分形特性融入到点过程和示性过程，即可较好地体现此类裂缝系统的特性；裂缝密度约束点过程可以使生成裂缝网络更加逼近此类裂缝系统；此外也可将研究区应力状态导致的裂缝模式融入。实际裂缝系统中裂缝展布常受层控，因为岩性变化对裂缝终止有较强影响，如沉积岩储层中裂缝，DFN模型可以通过分层位、不同组系、不同规模裂缝的叠加来实现多尺度复杂裂缝系统的建模。

然而DFN模型在实际应用中也存在三个主要问题： ①需要预设裂缝的形状、大小、倾向、倾角等的分布及其分布中的参数。这类参数可以通过露头分析、岩心观察、测井解释等获取，但常存在采样不均一、不充分、数据需要校正等一系列问题； ②裂缝系统中裂缝在空间上常具有相关性，DFN模型未考虑这一点，这是该模型的不足，而这一点正是基于变差函数和多点地质统计学的裂缝建模的一大优点。③不同组系裂缝数量比例如何分配，这一问题也是前三类方法都面临的问题。

近年来，DFN建模研究趋势主要有以下几个方面：①裂缝中心位置确定方法的研究，如点过程的改进(非稳态泊松过程、MCMC、Cluster过程、Cox过程等)、裂缝密度约束下的裂缝中心位置产生方法研究等；②示性过程中裂缝属性的研究，如裂缝形状的选择、模型中裂缝参数(倾向、倾角、大小、开度等)的分布函数研究；③DFN模型中参数获取问题的研究。获取裂缝参数的手段越来越多，如通过遥感卫星数据获取大尺度裂缝及断裂带信息[79，80]；基于三维激光扫描(如Light Detection and Ranging， LiDAR)技术对露头进行扫描获取三维数据[81-83]，并通过手动或自动的方式提取裂缝参数[80，84]；基于扫描线法的露头裂缝信息获取[85]；利用无人驾驶飞机(Unmanned Aerial Vehicle，UAV)获取多尺度裂缝模式、长度等信息[86]；利用成像测井获取单井裂缝信息[87]，如位置、倾角、开度等；通过岩心观察统计单井裂缝信息；利用CT扫描获取小尺度裂缝信息[88，89]，如裂缝几何形态等。这些裂缝规模数千米到几纳米，不可避免的是裂缝多尺度耦合的问题，如何合理地将其转换成研究问题模型中的参数，即参数校正成为一项重点工作[90]；④地质信息的融合，针对具体地质模式对DFN的改进，如与褶皱伴生的裂缝系统建模[91，92]、与断层伴生的裂缝系统建模考虑断距的影响因素[93，94]等；⑤构建裂缝密度约束体的研究。建模时，裂缝参数的统计分布、露头统计数据等可以反映裂缝的统计信息，但不能有效地指出裂缝更为发育的区域，而裂缝密度约束体正是起到这一作用，对裂缝中心位置的生成过程或裂缝方位确定过程进行约束。目前构建约束体有：通过叠前三维地震数据预测裂缝密度及方位[95，96]、弱度[97，98]、扁率、通过叠后地震数据边缘检测获取裂缝带的信息[99-101]、通过应力场数值模拟构建裂缝密度约束体[94，102]，井震结合地质建模等实现[93，103]；⑥裂缝模型有效性检验，即质量控制(QC)。如对生成的裂缝模型进行抽样，统计一维密度、裂缝长度和二维密度，并与实测裂缝进行对比[104]，将裂缝连通性分析[20，105，106]结果与示踪剂数据进行对比，并与实际生产数据进行对比[93]。根据对比结果对模型参数等进行调整，校正模型。重复上述过程直至满足质量控制条件，否则模型不可用。

除上述基于示性点过程的离散裂缝网络模型外，利用其他数学方法生成离散裂缝网络的模型也逐渐得到重视，如Veneziano改进模型。

(3)基于变差函数的裂缝建模

基于变差函数的裂缝建模有两类方法：一类是用沉积相建模流程直接对井上测井解释的裂缝用地质统计学的方法进行，但由于裂缝非均质性远超过沉积相的变化，因此不能较好地模拟裂缝形态，同时对裂缝属性也不能较好地估计； 另一类研究多在DFN模型的框架下开展，因此它继承了DFN模型的大部分特点。它用指示变换和变差函数来模拟裂缝属性，其功能近似于Baecher模型中示性过程，但其考虑了裂缝的空间相关性，是对DFN模型的改进，而两点地质统计学对复杂裂缝系统中裂缝的空间相关性表征不足是其面临的一大问题。从发表成果看，近年来该方法在实用性方面有了较大改进。其研究趋势除了DFN模型中提到的六点外，复杂裂缝系统空间相关性的描述也是亟待解决的问题。

(4)基于多点地质统计学的裂缝建模

基于多点地质统计学的裂缝建模，易于结合先验裂缝模式信息，且忠实于硬数据，并在后续数值模拟方面具有较强优势，适用于静态裂缝建模。但训练图像获取及算法效率提高是其发展过程中必须要解决的两个问题。目前训练图像多为二维图像，常通过卫星、露头等获得，如何获取适合研究区裂缝建模的三维训练图像是近年来逐渐被关注的一个研究方向，如通过三维地震解释断层、通过应力场数值模拟三维断层、通过三维CT获取裂缝。获取的训练图像普遍存在尺度耦合的问题，这也是该类方法需要解决的问题。同时训练图像稳定性问题是应用多点地质统计学进行模拟时要考虑的一个问题。算法效率提高也是多点地质统计学近年来的研究热点，数据结构、降维、并行计算等手段相继被引入，虽有所缓解，但仍待改进。

(5)基于分形特征迭代的裂缝建模

基于分形特征迭代的裂缝建模简单易行，既可用于静态裂缝模拟，也可用于动态模拟(如岩石破裂的模拟、注水诱导缝模拟等)。该方法仅适用于分形特征明显的裂缝系统模拟。如何高效地生成符合约束条件(如微地震数据、裂缝密度数据)的分形模型是目前该方法的一个研究重点，如通过约束条件和优化算法改进迭代规则生成符合地质认识的裂缝模型。

综上所述，近年来裂缝随机建模方法的研究趋势可归纳为四点： ①原有数学算法的改进及新算法的引入，如空间剖分方法中Delaunay三角剖分算法的改进、离散裂缝网络模型中随机过程稳定性的考虑、多点地质统计学中扫描效率的提高、分形特征迭代模型中迭代算法的改进等； ②将地质认识融合到数学模型中，建立针对某一特定地质体的裂缝系统，如与断层伴生的裂缝系统建模、具有明显分形特征的晶质岩裂缝等； ③确定模型参数的相关研究。首先是资料获取技术的改进，如叠前三维地震、成像测井、CT扫描、三维激光扫描、无人驾驶飞机等手段的引入。其次是所获取的不同尺度裂缝信息的耦合，将所获取的裂缝信息转换成模型中的参数； ④裂缝模型有效性验证，即质量控制。

感谢毛哲、王小垚、曹东升等在本文成文过程中提供了帮助！

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