陆 剑， 雍 燕

（上海理工大学 理学院，上海 200093）

1 问题的提出

考虑可压缩磁流体方程

且

所以，磁流体方程（1）中的第3式可写为

磁流体方程是流体力学中的经典模型[1-2]。磁流体方程问题解的存在性是人们关心的一个重要问题。众多学者研究了磁流体方程柯西问题解的适定性。Bian等[3]研究了全空间非等熵可压缩磁流体方程在临界Besov空间上的局部适定性；Kozono等[4]研究了3维可压缩非等熵磁流体方程的柯西问题弱解的全局存在性；Liu等[5]研究了具有某些限制初值的3维可压缩磁流体方程的全局弱解问题。

但是，对于初边值问题，情况变得更加复杂。事实上，在流体力学中，主要考虑两种边界条件：一种是Dirichlet边界条件，；另一种是由Navier提出的著名滑动边界条件，

式中：为上的单位外法向向量；是的切向向量，是应变张量；

现对问题（1）～（3），研究其解的局部存在性问题。一般讨论的解有3种。第1种解是光滑小解[6-8]，在这种情况下，初值和解接近于中的某个常数，后来将这个解推广到齐次Besov空间。首先将方程组线性化，然后对线性方程组进行迭代，得到一组逼近解，证明逼近解的渐近衰减速率，最后将逼近解取极限，得到原方程组解的存在性。这类光滑小解是连续可微的，并且大大降低了对初值的限制。缺点是不能体现出Navier-Stokes方程组自身的奇性。第2种解是由Lions提方程的解会出现问题。相反地，出的一般“大能量”弱解[9]，这类解的好处是对任意大的初始能量和非负密度都容易证明解的存在性。但是，这一类解的集合比较大，通常还包含了非物理解。……